Pierścień bez jedynki

[arek1357]

Bo:

\(\displaystyle{ RR=R}\)

[timon92]

arek1357, w pierscieniach bez jedynki nie musi byc prawda, ze \(RR=R\), i tak naprawde to w ogole nie rozumiem Twojego argumentu

implikacje z dolu do gory mozna zalatwic tak:

ustalamy dowolne \(a,b\) takie ze \(aRb=0\), chcemy pokazac, ze \(a=0\) lub \(b=0\)

wezmy najmniejsze idealy zawierajace \(a\) i \(b\), tj. \(I=\{a\}\cup aR \cup Ra \cup RaR\) oraz \(J=\{b\}\cup bR \cup Rb\cup RbR\)

z warunku \(aRb=0\) natychmiast wynika iz \(IRJ=0\), na mocy zalozenia dostajemy \(I=0\) lub \(R=0\) lub \(J=0\) no i to tyle, bo w pierwszych dwoch opcjach jest \(a=0\) a w trzeciej \(b=0\)

[arek1357]

No masz rację ogólnie nie musi być prawdą w p. bez jedynki , że RR=R

Ja przyjąłem, że:

\(\displaystyle{ I=RaR, J=RbR}\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ RaRRbR}\)

I jakby przyjął:

\(\displaystyle{ RaRRbR=RaSbR}\)

a skoro:

\(\displaystyle{ aRb=0}\) to pewnie tym bardziej:

\(\displaystyle{ aSb=0, S \subseteq R, S \neq 0}\)

[Dasio11]

wezmy najmniejsze idealy zawierajace \(a\) i \(b\), tj. \(I=\{a\}\cup aR \cup Ra \cup RaR\) oraz \(J=\{b\}\cup bR \cup Rb\cup RbR\)

To nie muszą być ideały - brakuje zamkniętości na sumy. Poprawny wzór na \(\displaystyle{ I}\), czyli ideał generowany przez \(\displaystyle{ a}\), jest dość nieporęczny, dlatego proponuję tak: zbiór iksów spełniających \(\displaystyle{ x R b = \{ 0 \}}\) jest ideałem i jest w nim element \(\displaystyle{ a}\), zatem zawiera on \(\displaystyle{ I}\), tj. \(\displaystyle{ I R b = \{ 0 \}}\). Z kolei zbiór igreków, takich że \(\displaystyle{ I R y = \{ 0 \}}\), jest ideałem do którego należy \(\displaystyle{ b}\), zatem \(\displaystyle{ I R J = \{ 0 \}}\).

[max123321]

Nie rozumiem. To \(\displaystyle{ IRJ=\left\{ 0\right\} }\) odpowiada w pewnym sensie temu? \(\displaystyle{ IJ=0}\)?

[timon92]

dzieki Dasio11 za korekte

max123321, nie wiem czy tu tkwi Twoj problem, ale chodzi o to ze najpierw stosujemy zalozenie do idealow \(IR\) oraz \(J\) otrzymujac w rezultacie \(IR=0\) lub \(J=0\); jesli \(J=0\) to wygralismy, a jesli nie, to \(IR=0\), wiec mozna zastosowac zalozenie do idealow \(I\) oraz \(R\), otrzymujac \(I=0\) lub \(R=0\)

[arek1357]

u Timona by było ok jakby zapisane było:

\(\displaystyle{ J=<b>+bR+Rb+RbR}\)

To samo z \(\displaystyle{ I}\)

Wtedy otoczka jest...

[max123321]

Ok, dzięki Timon, o to mi chodziło. Czyli jak rozumiem dochodzimy do tego, że \(\displaystyle{ I=0}\) lub \(\displaystyle{ R=0}\) lub \(\displaystyle{ J=0}\), a z tego wynika, że jeśli \(\displaystyle{ I=0}\) to musi być \(\displaystyle{ a=0}\) bo \(\displaystyle{ a}\) siedzi w \(\displaystyle{ I}\), analogicznie jeśli \(\displaystyle{ J=0}\) to \(\displaystyle{ b=0}\), a jeśli \(\displaystyle{ R=0}\) to zarówno \(\displaystyle{ a}\) jak i \(\displaystyle{ b}\) muszą być równe zero, bo wtedy zero to jedyny element pierścienia. Zgadza się?

No dobra to jeszcze dopytam o jedną rzecz, mianowicie dlaczego zbiór iksów spełniających \(\displaystyle{ xRb=\left\{ 0\right\} }\) jest ideałem?

[timon92]

musisz sprawdzic, ze zbior tych iksow ze \(xRb=\{0\}\) jest zamkniety na sumy oraz na mnozenie przez elementy pierscienia, czy to z lewej czy z prawej

z czym dokladnie masz problem?