Suma nil ideałów

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Suma nil ideałów

Post autor: max123321 »

Niech \(\displaystyle{ N(R)}\) oznacza sumę wszystkich nil ideałów w \(\displaystyle{ R}\). Uzasadnić, że \(\displaystyle{ N(R)}\) jest nil oraz \(\displaystyle{ R/N(R)}\) nie zawiera niezerowych nil ideałów.

Jak to zrobić?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Suma nil ideałów

Post autor: arek1357 »

nil ideał co to jest nie chodzi tu o radykał bynajmniej?
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Suma nil ideałów

Post autor: max123321 »

Już mówię:
Powiemy, że jednostronny ideał \(\displaystyle{ I}\) w \(\displaystyle{ R}\) jest
1. nil jeżeli \(\displaystyle{ \forall a \in I \exists n: a^n=0}\)
2. nilpotent jeżeli \(\displaystyle{ \exists n: I^n=0}\), czyli \(\displaystyle{ \forall a_1,...a_n \in I: a_1...a_n=0}\)
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Suma nil ideałów

Post autor: arek1357 »

Jeżeli jest nilpotentny i przemienny wtedy:

jeżeli np:

\(\displaystyle{ x \in I_{1} \wedge x^n=0}\)

\(\displaystyle{ y \in I_{2} \wedge y^m=0}\)


To:

\(\displaystyle{ (x+y)^{n+m-1}=0}\)


Dla nieprzemiennych jakoś tego nie widzę...
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Suma nil ideałów

Post autor: max123321 »

Czyli założenie o nilpotentności i przemienności jest konieczne tutaj?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Suma nil ideałów

Post autor: arek1357 »

Tak na to wygląda , bo nie widzę tego, żeby suma w nawiasie zawsze dała zero w nieprzemiennym...Choć też może się zdarzyć...
ODPOWIEDZ