Niech \(\displaystyle{ N(R)}\) oznacza sumę wszystkich nil ideałów w \(\displaystyle{ R}\). Uzasadnić, że \(\displaystyle{ N(R)}\) jest nil oraz \(\displaystyle{ R/N(R)}\) nie zawiera niezerowych nil ideałów.
Jak to zrobić?
Suma nil ideałów
-
- Użytkownik
- Posty: 3388
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Suma nil ideałów
Już mówię:
Powiemy, że jednostronny ideał \(\displaystyle{ I}\) w \(\displaystyle{ R}\) jest
1. nil jeżeli \(\displaystyle{ \forall a \in I \exists n: a^n=0}\)
2. nilpotent jeżeli \(\displaystyle{ \exists n: I^n=0}\), czyli \(\displaystyle{ \forall a_1,...a_n \in I: a_1...a_n=0}\)
Powiemy, że jednostronny ideał \(\displaystyle{ I}\) w \(\displaystyle{ R}\) jest
1. nil jeżeli \(\displaystyle{ \forall a \in I \exists n: a^n=0}\)
2. nilpotent jeżeli \(\displaystyle{ \exists n: I^n=0}\), czyli \(\displaystyle{ \forall a_1,...a_n \in I: a_1...a_n=0}\)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: Suma nil ideałów
Jeżeli jest nilpotentny i przemienny wtedy:
jeżeli np:
\(\displaystyle{ x \in I_{1} \wedge x^n=0}\)
\(\displaystyle{ y \in I_{2} \wedge y^m=0}\)
To:
\(\displaystyle{ (x+y)^{n+m-1}=0}\)
Dla nieprzemiennych jakoś tego nie widzę...
jeżeli np:
\(\displaystyle{ x \in I_{1} \wedge x^n=0}\)
\(\displaystyle{ y \in I_{2} \wedge y^m=0}\)
To:
\(\displaystyle{ (x+y)^{n+m-1}=0}\)
Dla nieprzemiennych jakoś tego nie widzę...