Otóż coś sobie wymyśliłem i pragnę o tym napisać możliwe, że ktoś wcześniej już to wymyślił więc pewnie nie będę pionierem no ale:
Na zbiorze liczb rzeczywistych robimy relację :
\(\displaystyle{ x,y }\)- liczby niewymierne ,\(\displaystyle{ \alpha}\) - liczba wymierna \(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow x=\alpha \cdot y}\)
Czyli jeżeli dla dwóch dowolnych liczb niewymiernych istnieje istnieje taka wymierna że spełniona jest powyższa zależność...
Będzie to relacja równoważności, która liczby niewymierne dzieli na klasy abstrakcji...
I teraz z każdej klasy abstrakcji wybieramy jednego przedstawiciela i w ten sposób tworzymy zbiór \(\displaystyle{ H}\)
Wykazać lub obalić czy jest to baza Hamela Przestrzeni liniowej liczb rzeczywistych nad ciałem liczb wymiernych
Czy \(\displaystyle{ H}\) jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue'a
Baza Hamela
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: Baza Hamela
rozumiem, ze zakladasz, ze \(\alpha\neq 0\), w przeciwnym razie to nie jest relacja rownowaznosci
tak otrzymany zbior nie jest baza \(\mathbb R\) nad \(\mathbb Q\), gdyz nalezy do niego \(0\) (bo jedna z klas rownowaznosci jest singleton \(\{0\}\))
nawet jesli wyrzuci sie zero to nie dostaniemy bazy chocby dlatego, ze reprezentanty klas rownowaznosci liczb \(\sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 2 + \sqrt 3\) sa liniowo zalezne
\(H\) nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a, podobny motyw jak z klasycznym zbiorem Vitalego
tak otrzymany zbior nie jest baza \(\mathbb R\) nad \(\mathbb Q\), gdyz nalezy do niego \(0\) (bo jedna z klas rownowaznosci jest singleton \(\{0\}\))
nawet jesli wyrzuci sie zero to nie dostaniemy bazy chocby dlatego, ze reprezentanty klas rownowaznosci liczb \(\sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 2 + \sqrt 3\) sa liniowo zalezne
\(H\) nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a, podobny motyw jak z klasycznym zbiorem Vitalego