Podgrupy o nieskończonym indeksie.

[Akiva]

Mam problem z rozwiązaniem następującego zadania:

Niech \(\displaystyle{ H<F<G}\) oraz \(\displaystyle{ (G:F)< \infty }\). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ (G:F)=(G:H)}\), to \(\displaystyle{ H=F}\).
Podaj przykład grupy z podgrupami o nieskończonym indeksie (dla których twierdzenie nie jest prawdziwe).

[Dasio11]

W pierwszej części wystarczy wykorzystać wzór \(\displaystyle{ (G:H) = (G:F) \cdot (F:H)}\) (który po naturalnej interpretacji jest prawdziwy nawet gdy któryś z indeksów jest nieskończony).

W drugiej części rozważ grupy \(\displaystyle{ \{0\} \times \{0\} \le \ZZ_2 \times \{0\} \le \ZZ_2 \times \ZZ}\).