Napisałem coś takiego i byłbym wdzięczny za ewentualne poprawki i uwagi. Nie czuję się zbyt pewnie, a niestety nie ma odpowiedzi do zadania.Udowodnij, że działanie może mieć co najwyżej jeden element neutralny.
Załóżmy, nie wprost, że pewne działanie \(\displaystyle{ * : A \times A \rightarrow A}\) określone na pewnym zbiorze \(\displaystyle{ A}\) ma dwa elementy neutralne, niech będą to: \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\). Jako że \(\displaystyle{ p, q \in A}\), musi zachodzić:
\(\displaystyle{ p = p*q = q*p = q}\)
Druga równość wynika z faktu, że \(\displaystyle{ \forall (a \in A) a * p = p * a}\). Widzimy, że \(\displaystyle{ p=q}\), sprzeczność. Nie jest więc możliwe istnienie dwóch elementów neutralnych danego działania.
Czy wszystko jest w porządku? Czy zapisanie \(\displaystyle{ * : A \times A \rightarrow A}\) zamiast samego \(\displaystyle{ *}\) w pierwszym zdaniu tego dowodu byłoby błędem? Podejrzewam, że tak, bo nie możemy z góry przewidzieć, ile elementów wymaga dane działanie.