Dwa elementy neutralne pewnego działania

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Dwa elementy neutralne pewnego działania

Post autor: Thingoln »

Cześć. Rozwiązuję takie zadanie:
Udowodnij, że działanie może mieć co najwyżej jeden element neutralny.
Napisałem coś takiego i byłbym wdzięczny za ewentualne poprawki i uwagi. Nie czuję się zbyt pewnie, a niestety nie ma odpowiedzi do zadania. :D

Załóżmy, nie wprost, że pewne działanie \(\displaystyle{ * : A \times A \rightarrow A}\) określone na pewnym zbiorze \(\displaystyle{ A}\) ma dwa elementy neutralne, niech będą to: \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\). Jako że \(\displaystyle{ p, q \in A}\), musi zachodzić:
\(\displaystyle{ p = p*q = q*p = q}\)
Druga równość wynika z faktu, że \(\displaystyle{ \forall (a \in A) a * p = p * a}\). Widzimy, że \(\displaystyle{ p=q}\), sprzeczność. Nie jest więc możliwe istnienie dwóch elementów neutralnych danego działania.

Czy wszystko jest w porządku? Czy zapisanie \(\displaystyle{ * : A \times A \rightarrow A}\) zamiast samego \(\displaystyle{ *}\) w pierwszym zdaniu tego dowodu byłoby błędem? Podejrzewam, że tak, bo nie możemy z góry przewidzieć, ile elementów wymaga dane działanie.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Dwa elementy neutralne pewnego działania

Post autor: a4karo »

Przecież we własnościach elementu neutralnego powołujesz się na to, że działanie ma dwa argumenty
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Re: Dwa elementy neutralne pewnego działania

Post autor: Thingoln »

Rzeczywiście, dziękuję. Czy poza tym rozwiązanie jest poprawne?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Dwa elementy neutralne pewnego działania

Post autor: a4karo »

Jeśli miałbym się doczepić to tego, że powiedziałeś że są dwa ale nie powiedziałeś że różne. A bez tego nie uzyskasz sprzeczności
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Re: Dwa elementy neutralne pewnego działania

Post autor: Thingoln »

Bardzo dziękuję za pomoc. :)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dwa elementy neutralne pewnego działania

Post autor: Jan Kraszewski »

Dodam tylko, że gdybyś opuścił założenie nie wprost i konkluzję o sprzeczności, to dostałbyś porządny dowód wprost...

JK
ODPOWIEDZ