Algebra abstrakcyjna- Opisz wszystkie nieprzywiedlne reprezentacje grupy
-
Nie_kujonka
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 19 sie 2020, o 13:27
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Algebra abstrakcyjna- Opisz wszystkie nieprzywiedlne reprezentacje grupy
\(\displaystyle{ }\)Opisz wszystkie nieprzywiedlne reprezentacje grupy \(\displaystyle{ C_{12}}\)
-
Slup
- Użytkownik
- Posty: 790
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Re: Algebra abstrakcyjna- Opisz wszystkie nieprzywiedlne reprezentacje grupy
Po pierwsze z teorii wynika, że dla skończonych grup abelowych wszystkie ich reprezentacje nieprzywiedlne są jednowymiarowe czyli pochodzą od charakterów. Można to udowodnić w ten sposób, że algebra grupowa \(\displaystyle{ \mathbb{C}[A]}\) grupy abelowej \(\displaystyle{ A}\) jest:
1. Przemienna, bo \(\displaystyle{ A}\) jest przemienna.
2. Półprosta w sensie Jacobsona, co wynika z twierdzenia Maschke.
3. Skończenie wymiarowa, a więc artinowska.
Z (2) i (3) oraz twierdzenia Wedderburna-Artina dostajemy, że \(\displaystyle{ \mathbb{C}[A]}\) jest produktem algebr macierzy nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). Z (1) dostajemy, że \(\displaystyle{ \mathbb{C}[A]}\) jest produktem \(\displaystyle{ |A|}\) kopii ciała \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). Stąd wynika, że każda nieprzywiedlny \(\displaystyle{ \mathbb{C}[A]}\)-moduł jest jednowymiarowy czyli każda nieprzywiedlna reprezentacja \(\displaystyle{ A}\) jest jednowymiarowa. Stąd wystarczy znaleźć charaktery grupy \(\displaystyle{ A}\).
Można też bez zrzucania tej całej (pięknej) teorii. Niech \(\displaystyle{ \rho:C_{12}\rightarrow \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})}\) będzie homomorfizmem. Kładąc \(\displaystyle{ \rho(1) = M}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ M}\) jest macierzą odwracalną taką, że \(\displaystyle{ M^{12} = I_n}\) (macierz identycznościowa). \(\displaystyle{ M}\) ma w pewnej bazie postać Jordana (jesteśmy nad ciałem alg. domkniętym). Weźmy jedną klatkę Jordana \(\displaystyle{ D}\) o rozmiarze \(\displaystyle{ k}\) w tej postaci Jordana. Widzimy, że \(\displaystyle{ D^{12} = I_k}\). Jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ k=1}\). Stąd wniosek, że \(\displaystyle{ M}\) jest diagonalizowalna. Sprzegając macierz \(\displaystyle{ M}\) pewną miacierzą odwracalną \(\displaystyle{ N}\) uzyskujemy więc macierz diagonalną. Odpowiada to wzięciu reprezentacji izomorficznej z \(\displaystyle{ \rho}\). Możemy więc założyć, że \(\displaystyle{ \rho(1)}\) jest macierzą diagonalną postaci
$$
\begin{pmatrix}
\xi_1 & 0 & ... & 0\\
0 & \xi_2 & ... & 0\\
... & ... & ... & ...\\
0 & ... & ... & \xi_n\\
\end{pmatrix}
$$
gdzie \(\displaystyle{ \xi_i^{12} = 1}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,n}\). Stąd reprezentacja \(\displaystyle{ \rho}\) rozkłada się na sumę prostą reprezentacji odpowiadających charakterom \(\displaystyle{ \rho_i:C_{12}\rightarrow \mathbb{C}^* = \mathrm{GL}_1(\mathbb{C})}\) danym przez \(\displaystyle{ \rho_i(1) = \xi_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,n}\). Ponieważ zaczęliśmy od dowolnej reprezentacji liniowej i pokazaliśmy, że rozkłada się na reprezentacje jednowymiarowe, to widać stąd, że jedyne reprezentacje nieprzywiedlne to reprezentacje jednowymiarowe czyli charaktery.
1. Przemienna, bo \(\displaystyle{ A}\) jest przemienna.
2. Półprosta w sensie Jacobsona, co wynika z twierdzenia Maschke.
3. Skończenie wymiarowa, a więc artinowska.
Z (2) i (3) oraz twierdzenia Wedderburna-Artina dostajemy, że \(\displaystyle{ \mathbb{C}[A]}\) jest produktem algebr macierzy nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). Z (1) dostajemy, że \(\displaystyle{ \mathbb{C}[A]}\) jest produktem \(\displaystyle{ |A|}\) kopii ciała \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). Stąd wynika, że każda nieprzywiedlny \(\displaystyle{ \mathbb{C}[A]}\)-moduł jest jednowymiarowy czyli każda nieprzywiedlna reprezentacja \(\displaystyle{ A}\) jest jednowymiarowa. Stąd wystarczy znaleźć charaktery grupy \(\displaystyle{ A}\).
Można też bez zrzucania tej całej (pięknej) teorii. Niech \(\displaystyle{ \rho:C_{12}\rightarrow \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})}\) będzie homomorfizmem. Kładąc \(\displaystyle{ \rho(1) = M}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ M}\) jest macierzą odwracalną taką, że \(\displaystyle{ M^{12} = I_n}\) (macierz identycznościowa). \(\displaystyle{ M}\) ma w pewnej bazie postać Jordana (jesteśmy nad ciałem alg. domkniętym). Weźmy jedną klatkę Jordana \(\displaystyle{ D}\) o rozmiarze \(\displaystyle{ k}\) w tej postaci Jordana. Widzimy, że \(\displaystyle{ D^{12} = I_k}\). Jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ k=1}\). Stąd wniosek, że \(\displaystyle{ M}\) jest diagonalizowalna. Sprzegając macierz \(\displaystyle{ M}\) pewną miacierzą odwracalną \(\displaystyle{ N}\) uzyskujemy więc macierz diagonalną. Odpowiada to wzięciu reprezentacji izomorficznej z \(\displaystyle{ \rho}\). Możemy więc założyć, że \(\displaystyle{ \rho(1)}\) jest macierzą diagonalną postaci
$$
\begin{pmatrix}
\xi_1 & 0 & ... & 0\\
0 & \xi_2 & ... & 0\\
... & ... & ... & ...\\
0 & ... & ... & \xi_n\\
\end{pmatrix}
$$
gdzie \(\displaystyle{ \xi_i^{12} = 1}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,n}\). Stąd reprezentacja \(\displaystyle{ \rho}\) rozkłada się na sumę prostą reprezentacji odpowiadających charakterom \(\displaystyle{ \rho_i:C_{12}\rightarrow \mathbb{C}^* = \mathrm{GL}_1(\mathbb{C})}\) danym przez \(\displaystyle{ \rho_i(1) = \xi_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,n}\). Ponieważ zaczęliśmy od dowolnej reprezentacji liniowej i pokazaliśmy, że rozkłada się na reprezentacje jednowymiarowe, to widać stąd, że jedyne reprezentacje nieprzywiedlne to reprezentacje jednowymiarowe czyli charaktery.