Przekrój rodziny podgrup jest podrupą

[Bran]

Jeżeli \(\displaystyle{ \left\{ H_i\right\}_{i \in I}}\) jest rodziną podgrup grupy \(\displaystyle{ G}\), to \(\displaystyle{ \bigcap_{i \in I} H_i}\) jest podgrupą.

Podczas nauki napotkałem na takie zdanie niestety szukałem w paru źródłach i nie mogłem znaleźć wytłumaczenia, w niektórych tylko było napisane, że to oczywiste. Niestety nie dla mnie. Mógłbym prosić o naprowadzenie na to dlaczego tak jest?

[Dasio11]

A wiesz ogólnie jakie warunki musi spełniać podzbiór \(\displaystyle{ H \subseteq G}\), żeby być podgrupą?

[Bran]

Tak wiem, \(\displaystyle{ H}\) musi być podzbiorem zbioru grupy wyjściowej i musi być grupą z działaniem grupy wyjściowej.

[Dasio11]

To jest definicja, ale często zaraz po niej podaje się równoważny zestaw warunków:
(i) \(\displaystyle{ e \in H}\)
(ii) \(\displaystyle{ (\forall a, b \in H) \, a \cdot b \in H}\)
(iii) \(\displaystyle{ (\forall a \in H) \, a^{-1} \in H}\)

Dalej: wiesz jak sprawdzić, że \(\displaystyle{ e \in \bigcap_{i \in I} H_i}\) ?

[Bran]

Skoro elementy rodziny \(\displaystyle{ \left\{ H_i\right\}_{i \in I}}\) są podgrupami, to każdy z nich zawiera \(\displaystyle{ e}\) z warunku (i).
A skoro dla każdego \(\displaystyle{ i \in I \; \; H_i}\) zawiera element neutralny, to \(\displaystyle{ e \in \bigcap_{i \in I} H_i}\) też z definicji, skoro jest w każdym elemencie, to rodziny \(\displaystyle{ \left\{ H_i\right\}_{i \in I}}\) to jest też w \(\displaystyle{ e \in \bigcap_{i \in I} H_i.}\)

[Dasio11]

Dobrze - to już sobie poradzisz?

[Bran]

Tak, już widzę, dziękuję, to mam jeszcze jedno pytanko jeśli mogę.

Jak z tego faktu wynika, że dla dowolnego podzbiory \(\displaystyle{ X \subset G}\) istnieje najmniejsza (z tego co znalazłem, to chyba w sensie inkluzji) podgrupa zawierająca \(\displaystyle{ X}\)?
Bo jak zwykle dla autorów jest to oczywiste, dla mnie znowu nie, być może mam jakiś gorszy okres, strach iść na studia...

[Dasio11]

W folklorze matematycznym istnieje następujący schemat rozumowania:

1. Jeśli \(\displaystyle{ A, B, C}\) są dowolnymi zbiorami, to \(\displaystyle{ A \subseteq B \cap C}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) i \(\displaystyle{ A \subseteq C}\).

2. Ogólniej: jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest dowolnym zbiorem a \(\displaystyle{ \{ B_i : i \in I \}}\) jest niepustą rodziną zbiorów - dla uproszczenia indeksowaną, ale to bez znaczenia - wówczas \(\displaystyle{ A \subseteq \bigcap_{i \in I} B_i}\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(\displaystyle{ i \in I}\) jest \(\displaystyle{ A \subseteq B_i}\).

3. Wniosek stąd taki, że gdy \(\displaystyle{ \mathcal{H}}\) jest jakąkolwiek niepustą rodziną zbiorów, to jedynym możliwym kandydatem na zbiór najmniejszy (w sensie inkluzji) w \(\displaystyle{ \mathcal{H}}\) jest \(\displaystyle{ \bigcap \mathcal{H}}\). Są zatem dwie możliwości: albo \(\displaystyle{ \bigcap \mathcal{H}}\) faktycznie jest elementem \(\displaystyle{ \mathcal{H}}\), i wtedy jest on najmniejszy w \(\displaystyle{ \mathcal{H}}\), albo ten przekrój nie jest elementem \(\displaystyle{ \mathcal{H}}\), i wtedy nie istnieje w owej rodzinie zbiór najmniejszy.


Na ogół ten schemat stosuje się do rodzin złożonych ze wszystkich zbiorów mających konkretną własność. W tym przypadku \(\displaystyle{ \mathcal{H}}\) jest rodziną wszystkich podgrup \(\displaystyle{ G}\) zawierających zbiór \(\displaystyle{ X}\). A więc by stwierdzić, że istnieje najmniejsza podgrupa \(\displaystyle{ G}\) zawierająca \(\displaystyle{ X}\), wystarczy sprawdzić, że przekrój wszystkich takich grup również jest grupą zawierającą \(\displaystyle{ X}\). I to w zasadzie udowodniłeś wcześniej w tym wątku.