Czy grupa izometrii własnych kwadratu jest grupą cykliczną?
Wydaje mi się, że nie.
Grupa izometrii własnych kwadratu (z działaniem składania) wygląda tak: \(\displaystyle{ \{Id,S_a,S_b,S_c,S_d,R_P^{90^o},R_p^{180^o},R_p^{270^o}\}}\).
- Identyczność nie generuje żadnej z symetrii i żadnego obrotu.
- Weźmy \(\displaystyle{ S_a}\). Niech \(\displaystyle{ S_a=H}\). Wtedy \(\displaystyle{ H^0=Id, H^1=S_a, H^2=Id, H^3=S_a,\ldots}\)
\(\displaystyle{ S_a}\) nie wygeneruje żadnej innej symetrii i żadnego obrotu. Analogicznie będzie z pozostałymi symetriami.
- Weźmy obrót \(\displaystyle{ R_P^{90^o}}\). Niech \(\displaystyle{ R_P^{90^o}=G}\). Wtedy \(\displaystyle{ G^0=Id, G^1=R_P^{90^o}, G^2=R_P^{180^o}, G^3=R_P^{270^o}, G^4=Id, G^5=R_P^{90^o},\ldots}\)
\(\displaystyle{ R_P^{90^o}}\) nie wygeneruje żadnej symetrii. Analogicznie będzie z pozostałymi obrotami.
Czy to co napisałam jest ok? Czy takie wyjaśnienie jest wystarczające?
Pytanie 2
Jak uzasadnić, że wspomniana wyżej grupa jest dyhedralna?
Wiem, że jest twierdzenie, które mówi, że grupa izometrii własnych wielokąta foremnego o \(\displaystyle{ n \ge 3}\) wierzchołkach to grupa dyhedralna rzędu \(\displaystyle{ 2n}\), ale chciałabym spróbować uzasadnić to z definicji.
Def. \(\displaystyle{ D_{2n}=\left\langle A,B |A^n=B^2=Id, BA=A^{-1}B\right\rangle }\)
Czyli u nas \(\displaystyle{ A=S_a, \ B=S_b}\) i \(\displaystyle{ n=4}\).
\(\displaystyle{ A^4=Id, B^2=Id \Rightarrow A^n=B^2=Id}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}=S_a, A^{-1}B=R_P^{180^o}, BA=R_P^{180^o} \Rightarrow BA=A^{-1}B}\)
Czyli spełnione są warunki def. i grupa generowana jest przez \(\displaystyle{ S_a}\) i \(\displaystyle{ S_b}\).
Podobnie jak wyżej, czy to jest dobrze i czy jest wystarczająco precyzyjnie?
Z góry dziękuję
