Wolny abelian z nieskończoną rangą

[karoolina]

Cześć. Mam rozwiązać to zadanie lecz kompletnie nie wiem jak..

Pokazac, ze grupa multiplikatywna \(\displaystyle{ \QQ}\) liczb wymiernych jest wolnym abelianem z nieskończoną rangą.

Zaczełam tak:
Niech \(\displaystyle{ \QQ}\) będzie grupą multiplikatywną liczb wymiernych. Założmy, ze \(\displaystyle{ r \in \QQ }\) takie że \(\displaystyle{ r= \frac{a}{b} \in \QQ }\).
i nie wiem co dalej...

Czy mógłby mi ktoś to rozpisać, mam dużo tych zadań i chciałabym zobaczyc jak to powinno wygladac.

Za wszystkie odpowiedzi z góry dziekuję

[Jan Kraszewski]

A co to jest abelian?

JK

[karoolina]

Przepraszam, chyba źle przetłumaczyłam, zadania są po angielsku. Powinno być wolną grupą abelową.

[Dasio11]

Jak definiujesz grupę wolną abelową?

Tak czy inaczej, wstępnie mogę podpowiedzieć, że bazą (jedną z wielu) będzie zbiór liczb całkowitych dodatnich, które są liczbami pierwszymi.

[karoolina]

Grupę abelową (F, +) nazywamy wolną grupą abelową, gdy \(\displaystyle{ F = \sum_{i \in I} \langle f_{i} \rangle }\), gdzie \(\displaystyle{ r(f_{i}) = +\infty, i \in I }\). Rodzinę \(\displaystyle{ \{f_{i}: i \in I\} }\) nazywamy bazą (lub zbiorem wolnych generatorów) wolnej grupy abelowej F.

Niestety nic mi to nie mówi

[Dasio11]

Jeśli potrzebujesz intuicji w zakresie wolnych grup abelowych, to spróbuj przeczytać ten artykuł. A odnośnie Twojego zadania, to spróbuj wykazać, że \(\displaystyle{ \QQ^{\times} = \sum_{p \in \mathbb{P}} \left< p \right>}\) jest szukanym rozkładem \(\displaystyle{ \QQ^{\times}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\) oznacza zbiór liczb pierwszych. Kieruj się faktem, że każda liczba całkowita dodatnia ma jednoznaczne przedstawienie w postaci iloczynu liczb pierwszych.

[karoolina]

Dobrze, dziękuję. Postaram sie coś ruszyć