Rozszerzenie rozdzielcze

[mela1015]

Poszukuję przykładu rozszerzenia normalnego, które nie jest rozdzielcze.


Macie jakieś pomysł?

Żeby rozszerzenie było normalne to wszystkie pierwiastki wielomianu minimalnego muszą należeć do ciała np mogłoby być \(\displaystyle{ \QQ[ \sqrt{2} ]}\) tylko to rozszerzenie chyba będzie rozdzielcze prawda?

[Dasio11]

Załóżmy, że rozszerzenie \(\displaystyle{ K \subseteq L}\) nie jest rozdzielcze i niech \(\displaystyle{ a \in L}\) będzie elementem, którego wielomian minimalny \(\displaystyle{ f \in K[x] \setminus \{ 0 \}}\) ma pierwiastek wielokrotny. Można wykazać, że wtedy \(\displaystyle{ f' = 0}\), a stąd wniosek, że:

- w ciałach charakterystyki zero każde rozszerzenie jest rozdzielcze;
- jeśli ciało jest charakterystyki \(\displaystyle{ p > 0}\), to w sytuacji jak wyżej musi być \(\displaystyle{ f \in K[x^p]}\).

To powinno Ci znacząco ułatwić szukanie przykładu.