Matematyka.pl

Czy ktoś umiałby mi rozpisać dowód, że grupa liczb całkowitych z dodawaniem \(\displaystyle{ (\ZZ,+)}\) jest grupą wolną.

Z góry dziekuje

Jak definiujesz grupę wolną?

Grupę abelową \(\displaystyle{ (F, +) }\) nazywamy wolną grupą abelową, gdy \(\displaystyle{ F = \sum_{i \in I} \langle f_{i} \rangle, }\) gdzie \(\displaystyle{ r(f_{i}) = +\infty, i \in I.}\) Rodzinę \(\displaystyle{ \{f_{i}: i \in I\} }\) nazywamy bazą (lub zbiorem wolnych generatorów) wolnej grupy abelowej F.

klarksons pisze: ↑22 maja 2020, o 11:57Czy ktoś umiałby mi rozpisać dowód, że grupa liczb całkowitych z dodawaniem \(\displaystyle{ (\ZZ,+)}\) jest grupą wolną.

Skoro zamiast definicji grupy wolnej podałeś definicję grupy wolnej abelowej (a są to dwa różne pojęcia), to zakładam, że o taką też chodziło w Twoim zadaniu.

Zadanie jest jednak tak łatwe, że jeśli nie potrafisz go sam rozwiązać, to przypuszczalnie brakuje Ci podstawowych intuicji dotyczących wolnych grup abelowych. Dlatego zamiast pokazywać Ci formalne rozwiązanie, które niewiele by Ci pomogło, proponuję żebyś raczej postarał się zrozumieć te podstawy, na przykład czytając ten artykuł. Wprowadzone tam definicje wprawdzie różnią się od Twojej, ale to nie powinno mieć znaczenia, bo chodzi o ten sam obiekt matematyczny.

Dobrze postaram sie, ja po prostu potrzebuje przykładów wolnych grup abelowych i grup nie wolnych. Myslałem czy ktos by mi z jakis przyklad rozpisał. W internecie praktycznie nic nie moge znależć...