Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grupą cykliczną generowaną przez element \(\displaystyle{ a}\) rzędu \(\displaystyle{ n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ a ^{k}}\) jest generatorem grupy \(\displaystyle{ G}\) wtedy i tylko wtedy, gdy liczby \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze.
Wyznaczyć wszystkie (z dokładnością do izomorfizmu) grupy rzędów od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 7}\) włącznie.
Udowodnić, że w dowolnej grupie \(\displaystyle{ G}\) każda podgrupa o indeksie \(\displaystyle{ 2}\) jest dzielnikiem normalnym grupy \(\displaystyle{ G}\).
Czy mógłby mi ktoś zrobić, bo nie wiem jak się do tego zabrać, a ciężko znaleźć jakieś wytłumaczenie w internecie.
Ostatnio zmieniony 21 maja 2020, o 16:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Narysuj sobie grupę \(G\) jako duży prostokąt podzielony na dwa mniejsze: podgrupę \(H\) normalną indeksu 2 oraz jej warstwę. Musisz pokazać, że dla dowolnego \(g \in G\) zachodzi \(gHg^{-1} = H\). Rozważ w tym celu dwa przypadki, w zależności od tego, czy \(g \in H\).
Jeżeli \(g \not \in H\), to \(gH \neq H\), a skoro są tylko dwie warstwy, oczywiście rozłączne, musi zachodzić \(g \in G \setminus H = gH\) ("ten drugi prostokącik"), zatem obrazek można podpisać: \(H, gH\). Rozumując analogicznie dochodzimy do wniosku, że obrazek można podpisać \(H, Hg\). Stąd już wnioskujemy, że \(gH = Hg\) lub równoważnie, \(gHg^{-1} = H\).
