Grupy wolne abelowe

[klarksons]

Cześć, jak masz czas i chęci to bardzo prosze o pomoc w rozwiązaniu tych dwóch zadanek. Kompletnie nie wiem co rozpisać.

Zadanie 1.
Sprawdź, czy w grupie wolnej abelowej F, \(\displaystyle{ \bigwedge_{m \in N} \bigwedge_{f \in F} mx=f }\) posiada co najwyżej jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ x \in F }\)

Zadanie 2. '
Ustalmy, że F jest grupą abelową wolną z bazą \(\displaystyle{ \{f_{i}:i \in I\} }\). Sprawdż, czy \(\displaystyle{ \bigwedge_{m \in N} }\) podgrupa \(\displaystyle{ mF = \{mf: f \in F\} }\) grupy F jest grupą abelową wolną.

dziękuje z góry za każdą pomoc

[Dasio11]

Jak zdefiniowana jest u Ciebie wolna grupa abelowa?

[klarksons]

Grupę abelową \(\displaystyle{ (F,+) }\) nazywamy wolną grupą abelową, jeśli \(\displaystyle{ F = \sum_{i \in I} \left\langle f_{i} \right\rangle }\), gdzie \(\displaystyle{ r(f_{i})= +\infty, i \in I. }\)Zbiór \(\displaystyle{ \{f_{i}: i \in I\} }\) nazywamy wtedy bazą wolnej grupy abelowej F.

[Dasio11]

1. Tak. Najpierw wykaż, że każdy element grupy wolnej abelowej na rząd równy \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ \infty}\). Potem załóż nie wprost, że dla pewnych \(\displaystyle{ m \in \NN, f \in F}\) równanie ma dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x, y \in F}\), i spróbuj dojść do sprzeczności, badając rząd \(\displaystyle{ x-y}\).

2. Sprawdziłeś nasuwające się przypuszczenie, że \(\displaystyle{ mF = \sum_{i \in I} \langle mf_i \rangle}\) oraz \(\displaystyle{ r(mf_i) = \infty}\) ?