Pierścień lokalny

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że pierścień jest lokalny jest równoważne temu że zbiór elementów nieodwracalnych jest w nim ideałem.

Ukryta treść:    

Przykład
pierścień ułamków nieskracalnych o mianowniku nieparzystym

[Dasio11]

Jeśli zbiór elementów nieodwracalnych jest ideałem, to oczywiste jest, że jest on największym ideałem właściwym (a zatem jedynym maksymalnym), bo każdy ideał zawierający element odwracalny automatycznie musi być całym pierścieniem. W drugą stronę, przypuśćmy że \(\displaystyle{ \mathfrak{m}}\) jest jedynym ideałem maksymalnym. Z podanego wyżej powodu nie może on zawierać żadnego elementu odwracalnego, wystarczy więc pokazać, że zawiera wszystkie nieodwracalne.

Ustalmy element nieodwracalny \(\displaystyle{ a}\) i rozważmy ideał \(\displaystyle{ I = (a)}\). Z nieodwracalności \(\displaystyle{ a}\) jest to ideał właściwy, zatem z lematu Kuratowskiego-Zorna daje się on rozszerzyć do pewnego ideału maksymalnego. Tym ideałem oczywiście musi być \(\displaystyle{ \mathfrak{m}}\), przeto \(\displaystyle{ a \in I \subseteq \mathfrak{m}}\), co należało wykazać.