Operacje modulo

[pow3r]

\(\displaystyle{ a+c\equiv b+d \pmod{m}}\)
\(\displaystyle{ a-c\equiv b-d \pmod{m}}\)
\(\displaystyle{ ac\equiv bd \pmod{m}}\)
udowodnij powyższe własności
Dla własności pierwszej: Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{Z}}\) , \(\displaystyle{ m\in \mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ a\equiv b \pmod{m},c\equiv d \pmod{m}}\) wynika stąd , że \(\displaystyle{ m|a-b}\) oraz \(\displaystyle{ m|c-d}\) zatem dodając stronami mamy \(\displaystyle{ m|a-b+c-d}\) stąd \(\displaystyle{ m|(a+c)-(b+d)}\) z tego wynika, że \(\displaystyle{ a+c\equiv b+d \pmod{m}}\).
Dla własności drugiej: Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{Z}}\) , \(\displaystyle{ m\in \mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ a\equiv b \pmod{m},c\equiv d\pmod{m}}\) wynika stąd , że \(\displaystyle{ m|a-b}\) oraz \(\displaystyle{ m|c-d}\) zatem odejmując stronami mamy \(\displaystyle{ m|a-b-(c-d)}\) stąd \(\displaystyle{ m|(a-c)-(b-d)}\) z tego wynika, że \(\displaystyle{ a-c\equiv b-d \pmod{m}}\).
czy powyzsze wlasnosci sa dobrze wykonane? jak poradzic sobie z mnożeniem?

[Jan Kraszewski]

zatem dodając stronami mamy \(\displaystyle{ m|a-b+c-d}\)
(...)
zatem odejmując stronami mamy \(\displaystyle{ m|a-b-(c-d)}\)

Ja bym jednak oczekiwał wyjaśnienia, co pozwala Ci dodawać/odejmować stronami jak powyżej. Poza tym popracuj nad formą - używaj kropek, dziel wypowiedź na zdania.

JK

[pow3r]

zatem dodając stronami mamy \(\displaystyle{ m|a-b+c-d}\)
(...)
zatem odejmując stronami mamy \(\displaystyle{ m|a-b-(c-d)}\)

Ja bym jednak oczekiwał wyjaśnienia, co pozwala Ci dodawać/odejmować stronami jak powyżej. Poza tym popracuj nad formą - używaj kropek, dziel wypowiedź na zdania.

JK

ponieważ dodawanie i odejmowanie modulo m wygląda tak samo jak zwykłe dodawanie i odejmowanie , jest łączne przemienne(...)

Dodano po 40 sekundach:
jednak zastanawia mnie to mnożenie jak można to udowodnić

[Jan Kraszewski]

ponieważ dodawanie i odejmowanie modulo m wygląda tak samo jak zwykłe dodawanie i odejmowanie , jest łączne przemienne(...)

Ale to nie jest dodawanie i odejmowanie modulo, tylko podzielność - skorzystałeś z definicji przystawania modulo i przeszedłeś na podzielności, po czym skorzystałeś z własności podzielności, której nie uzasadniłeś (czyli \(\displaystyle{ x\mid y\land x\mid z \Rightarrow x\mid y+z\land x\mid y-z}\)). A to dokładnie kluczowe przejście w tym dowodzie.

jednak zastanawia mnie to mnożenie jak można to udowodnić

Podobnie, tylko sprytnie skorzystać z jednej z powyższych własności oraz dwukrotnie z własności \(\displaystyle{ x\mid y \Rightarrow x\mid yz}\) (którą to własność też należałoby uzasadnić).

JK

[pow3r]

Czy należy wymnożyć nawiasy? wtedy otrzymamy \(\displaystyle{ m|ac-ad-bc+bd}\) tylko co wtedy dalej możemy zrobić?

[Jan Kraszewski]

Czy należy wymnożyć nawiasy?

Nie.

JK

[pow3r]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d,s,r \in \mathbb{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ m\in \mathbb{N}}\) stąd \(\displaystyle{ ms|a-b}\) oraz \(\displaystyle{ mr|c-d}\). Rozważmy \(\displaystyle{ ac-bd}\) zatem \(\displaystyle{ ac-bd=ac-ad+ad-bd}\) stąd \(\displaystyle{ a(c-d)+d(a-b)}\) zatem \(\displaystyle{ mra+msd}\) stąd \(\displaystyle{ m(ra+sd)}\) czyli \(\displaystyle{ m|ac-bd}\).
czy to jest poprawne ?

[Jan Kraszewski]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d,s,r \in \mathbb{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ m\in \mathbb{N}}\) stąd \(\displaystyle{ ms|a-b}\) oraz \(\displaystyle{ mr|c-d}\).

Magia znaczków w stanie czystym...

A niby dlaczego \(\displaystyle{ ms|a-b}\) oraz \(\displaystyle{ mr|c-d}\)? Już nie mówiąc o tym, że od początku tego tematu nie podałeś założeń, więc za każdym razem jak piszesz "stąd", to zupełnie nie wiadomo "skąd".

JK

[pow3r]

nie potrafie sobie poradzić z tym przykładem,
mogę prosić o pomoc?

[a4karo]

\(\displaystyle{ a+c\equiv b+d \pmod{m}}\)
\(\displaystyle{ a-c\equiv b-d \pmod{m}}\)
\(\displaystyle{ ac\equiv bd \pmod{m}}\)
udowodnij powyższe własności

Może w tym zadaniu warto zapisać jakieś założenia?

[pow3r]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\mathbb{Z}, m\in\mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{m}}\) i \(\displaystyle{ c\equiv d\pmod{m}}\) gdzie \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{m}=m|a-b}\) oraz \(\displaystyle{ c\equiv d\pmod{m}=m|c-d}\). takie założenia są wystarczające?

[Jan Kraszewski]

Tak, ale tak pisać nie wolno

\(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{m}\red{=}m|a-b}\) oraz \(\displaystyle{ c\equiv d\pmod{m}\red{=}m|c-d}\).

bo to nieprawda - istnieje różnica pomiędzy równością a równoważnością.

Skoro \(\displaystyle{ m\mid a-c}\), to \(\displaystyle{ m\mid b(a-c).}\)

JK

[pow3r]

Skoro \(\displaystyle{ m|a-c}\) to \(\displaystyle{ m|b(a-c)}\) to takze \(\displaystyle{ m|b-d}\) to \(\displaystyle{ m|a(b-d)}\) tak? i co dalej mogę z tym zrobić? nie mam pomysłu na tą ostatnią własność

[Jan Kraszewski]

Skoro \(\displaystyle{ m|a-c}\) to \(\displaystyle{ m|b(a-c)}\) to takze \(\displaystyle{ m|b-d}\) to \(\displaystyle{ m|a(b-d)}\) tak?

Tak, ale nie o to chodzi.

i co dalej mogę z tym zrobić? nie mam pomysłu na tą ostatnią własność

Pomyśleć. Dziewczyno, to są bardzo proste rozumowania i jeżeli takich nie będziesz w stanie sama przeprowadzić, to dalej w ogóle sobie nie poradzisz. Dostałaś wskazówkę, która w zasadzie stanowi połowę dowodu. Napisz co wiesz, co masz otrzymać i kombinuj.

JK

[pow3r]

mogę prosić o rozwiązanie, abym zobaczyła i postarała się zrozumieć