Operacje modulo

[Bran]

Panowie matematycy męczą Cię o zapis i trochę się czepiają, całkiem słusznie zresztą, ja bardzo cenię ich uwagi do moich "rozwiązań".

Ale spróbuję ogarnąć chaos, który się wkradł, może to pomoże:

Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{Z}}\) , \(\displaystyle{ m\in \mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ a\equiv b \pmod{m},c\equiv d \pmod{m}}\) (domyślam się, że to założenia)
To teza:
\(\displaystyle{ a+c\equiv b+d \pmod{m}}\)
\(\displaystyle{ a-c\equiv b-d \pmod{m}}\)
\(\displaystyle{ ac\equiv bd \pmod{m}}\)

Teraz napisz co wiesz. Zaproponowano Ci skorzystać z cech podzielności. Ja bym skorzystał z twierdzenia o dzieleniu z resztą, więc może nie będę dodatkowo mieszał dając swoje rady do rozwiązania, ale spróbuj napisać co wiesz i co możesz wywnioskować z tego, by przybliżyło Cię do tezy.

[pow3r]

mam postawiony wymóg, że musze korzystać z cech podzielności, jednak nie wiem jak to zastosować do trzeciego przykładu, pomimo wielu prób.

Dodano po 1 godzinie 31 minutach 3 sekundach:
może chodzi o coś takiego skoro \(\displaystyle{ m|(a-b)}\) i \(\displaystyle{ m|(c-d)}\) to \(\displaystyle{ m|c(a-b)}\) i \(\displaystyle{ m|d(a-b)}\) czyli \(\displaystyle{ m|cd(a-b)}\) i w drugim przypadku analogicznie? więc \(\displaystyle{ m|ab(c-d)}\) ?

[Jan Kraszewski]

może chodzi o coś takiego skoro \(\displaystyle{ m|(a-b)}\) i \(\displaystyle{ m|(c-d)}\) to \(\displaystyle{ m|c(a-b)}\) i \(\displaystyle{ m|d(a-b)}\) czyli \(\displaystyle{ m|cd(a-b)}\) i w drugim przypadku analogicznie? więc \(\displaystyle{ m|ab(c-d)}\) ?

Nie, co miałoby Ci to dać?

No to jeszcze raz, z poprawioną wskazówką (poprzednio odwrotnie popatrzyłem na literki i przestawiłem je): wiesz, że \(\displaystyle{ m\mid a-b}\), skąd wnioskujesz, że \(\displaystyle{ m\mid c(a-b)}\), czyli \(\displaystyle{ m\mid ac-bc}\).

Natomiast chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ m\mid ac-bd}\). Zastanów się, czego Ci brakuje.

JK

[pow3r]

\(\displaystyle{ m|a-b}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ m|c(a-b)}\) stąd mamy \(\displaystyle{ m|ac-bc}\) oraz \(\displaystyle{ m|c-d}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ m|b(c-d)}\) stąd mamy \(\displaystyle{ m|bc-bd}\) na mocy przystawania modulo z własności podzielności mamy \(\displaystyle{ m|ac-bc+bc-bd}\) zatem \(\displaystyle{ m|ac-bd}\) a więc otrzymujemy \(\displaystyle{ ac\equiv bd\pmod{m}.}\)

Dodano po 12 minutach 29 sekundach:
Czy to jest poprawne rozwiązanie?

[Jan Kraszewski]

Tak, przy założeniu, że nie musisz uzasadniać własności podzielności, które zostały wykorzystane.

JK

[Bran]

Ostatnio te własności dla treningu dowodziłem, także możesz spojrzeć: Własności relacji podzielności