relacja kongruencji

[pow3r]

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą, to relacja przystawania modulo \(\displaystyle{ n}\) jest relacją kongruencji w grupie i pierścieniu zbioru liczb całkowitych.

[Janusz Tracz]

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą

Na pewno tak miało to wyglądać? Żadnych założeń dodatkowych? (Nie będę się upierał, że powinny być jak coś)

relacja przystawania modulo \(\displaystyle{ n}\)

Zdefiniowanej jak? Standardowo

\(\displaystyle{ a \equiv _nb \Longleftrightarrow \big(\exists k\in\mathbb{Z} \big) a-b=nk}\)

w grupie i pierścieniu zbioru liczb całkowitych

Z jakimi działaniami? Standardowymi \(\displaystyle{ +}\) w grupie i \(\displaystyle{ +}\) oraz \(\displaystyle{ \cdot }\) w pierścieniu. W grupie relacja relacja \(\displaystyle{ \equiv _n}\) jest relacją kongruencji bo:

\(\displaystyle{ 1)}\) Relacja \(\displaystyle{ \equiv _n}\) jest relacją równoważności na \(\displaystyle{ \ZZ}\) (dla każdego \(\displaystyle{ n\in\ZZ}\))

dd:    

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\in\ZZ}\) wtedy \(\displaystyle{ \equiv _n}\) jest

\(\displaystyle{ 1.1)}\) Zwrotna bo dla każdego \(\displaystyle{ a\in \ZZ}\) zachodzi \(\displaystyle{ a \equiv _n a}\) wszak \(\displaystyle{ a-a=n \cdot 0}\) oczywiście \(\displaystyle{ 0\in \ZZ}\) zatem jest świadkiem.

\(\displaystyle{ 1.2)}\) Symetryczna bo dla każdego \(\displaystyle{ a,b\in \ZZ}\) takiego, że \(\displaystyle{ a \equiv _n b}\) wiemy, że istnieje takie \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\), że \(\displaystyle{ a-b=nk}\) a zatem \(\displaystyle{ b-a=n \cdot (-k)}\) gdzie \(\displaystyle{ -k\in\ZZ}\) (zatem jest świadkiem) czyli \(\displaystyle{ b \equiv _n a}\)

\(\displaystyle{ 1.3)}\) Przechodnia ustalasz \(\displaystyle{ a,b,c\in \ZZ}\) powiedzmy, że \(\displaystyle{ k_1,k_2\in \ZZ}\) są świadkami na to, że \(\displaystyle{ a \equiv _n b}\) i \(\displaystyle{ b \equiv _n c}\) wtedy (sprawdź) świadkiem, że \(\displaystyle{ a \equiv _n c}\) jest \(\displaystyle{ k_1,k_2\in\ZZ}\)

Oczywiście formalnie zawsze powinienem napisać ustalamy takie... wtedy... ale wydaje mi się kształcącym jeśli samodzielnie sprawdzisz powyższe przejścia.

\(\displaystyle{ 2)}\) Dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c,d\in \ZZ}\) takich, że \(\displaystyle{ a\equiv _n b}\) oraz \(\displaystyle{ c\equiv _nd}\) mamy \(\displaystyle{ a+c\equiv _nb+d}\)

dd:    

Ustalmy takie \(\displaystyle{ a,b,c,d\in \ZZ}\), że \(\displaystyle{ a\equiv _n b}\) oraz \(\displaystyle{ c\equiv _nd}\) (rozumowanie przypomina dowodzenie przechodniości) wiemy wszak, że istnieją takie \(\displaystyle{ k_1,k_2\in\ZZ}\), że \(\displaystyle{ a-b=nk_1}\) oraz \(\displaystyle{ c-d=nk_2}\) zatem \(\displaystyle{ a+c-(b+d)=n(k_1+k_2)}\) a ponieważ \(\displaystyle{ k_1+k_2\in \ZZ}\) to jest świadkiem, że \(\displaystyle{ a+c\equiv _nb+d}\)

a w pierścieniu będzie gdy pokażemy jeszcze, że:

\(\displaystyle{ 3)}\) Dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c,d\in \ZZ}\) takich, że \(\displaystyle{ a\equiv _n b}\) oraz \(\displaystyle{ c\equiv _nd}\) mamy \(\displaystyle{ a \cdot c\equiv _nb \cdot d}\)