Pierścień skończony - ideały
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Pierścień skończony - ideały
Udowodnić, że w pierścieniu skończonym ideały pierwsze i maksymalne są takie same.
-
- Użytkownik
- Posty: 826
- Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 187 razy
Re: Pierścień skończony - ideały
Wystarczy zauważyć, że skończona dziedzina jest ciałem, a jest to proste: istotnie, jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest skończoną dziedziną i \(\displaystyle{ a\in R\setminus \left\{ 0\right\} }\), to funkcja \(\displaystyle{ R\to R, \ r\mapsto ar}\) jest różnowartościową funkcją zbioru skończonego w siebie, więc jest bijekcją, w szczególności: przyjmuje wartość jeden.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Pierścień skończony - ideały
Nie zauważyłem założenia, że jest to dziedzina całkowitości...
Raczej z tego widzę, że dowód zacząłeś od środka nie podając założeń, z kontekstu tego co piszesz wynikało, że założyłeś , że zadany pierścień nie posiada dzielników zera,
dopiero potem skapowałem o co Ci biega, taki falstart...
Raczej z tego widzę, że dowód zacząłeś od środka nie podając założeń, z kontekstu tego co piszesz wynikało, że założyłeś , że zadany pierścień nie posiada dzielników zera,
dopiero potem skapowałem o co Ci biega, taki falstart...
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Pierścień skończony - ideały
Dowód jest jasny, jeśli zna się elementarny fakt z algebry abstrakcyjnej: dla każdego ideału \(\displaystyle{ I \mathrel{\leqslant \hskip{-4pt} \raise 2pt \tiny{|} \hskip{-1.7pt} \tiny{|} \hskip{4pt}} R}\) w pierścieniu przemiennym z jedynką zachodzą równoważności:
\(\displaystyle{ I}\) jest pierwszy \(\displaystyle{ \iff R/I}\) jest dziedziną,
\(\displaystyle{ I}\) jest maksymalny \(\displaystyle{ \iff R/I}\) jest ciałem.
\(\displaystyle{ I}\) jest pierwszy \(\displaystyle{ \iff R/I}\) jest dziedziną,
\(\displaystyle{ I}\) jest maksymalny \(\displaystyle{ \iff R/I}\) jest ciałem.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Pierścień skończony - ideały
Tak dowód jest jasny tylko samo rozpoczęcie niejasne , brak wstępu... i to mnie zmyliło tak to wyglądało jakby autor dowodu zakładał. że wyjściowy pierścień z zadania był dziedziną całkowitości i tak to na samym początku odczytałem...