Jak wykazać, że zbiór wszystkich lewostronnych warstw grupy \(\displaystyle{ (G, \cdot)}\) względem dowolnej jego podgrupy \(\displaystyle{ (H,\cdot H)}\) sumuje się do całej grupy i do tego wszystkie te warstwy są rozłączne?
Bo jak biorę to na swój wątły umysł, to faktycznie, zbiór wszystkich warstw grupy względem dowolnej podgrupy musi się sumować do całości, bo przecież dowolna podgrupa zawiera element neutralny, ale w momencie, gdy podgrupa nie jest zbudowana tylko z elementu neutralnego, to trudno mówić o rozłączności. Dlatego pytam - gdzieś muszę robić poważny błąd, ale nie widzę go.
Bran pisze: ↑10 lut 2020, o 16:20problem polega na tym, że nie bardzo rozumiem czym jest zbiór ilorazowy relacji.
Masz relację równoważności \(\displaystyle{ R}\) na grupie \(\displaystyle{ G}\) zadaną warunkiem \(\displaystyle{ g_1Rg_2 \Leftrightarrow (\exists h\in H)g_1=g_2h.}\) Zbiór ilorazowy tej relacji to zbiór warstw lewostronnych grupy \(\displaystyle{ G}\) względem podgrupy \(\displaystyle{ H}\).
A jeżeli nie rozumiesz pojęcia zbioru ilorazowego, to chyba powinieneś cofnąć się do Wstępu do matematyki i uzupełnić braki...
\(\displaystyle{ (\exists h\in H)g_1=g_2h}\)
rozumiem, że między elementami \(\displaystyle{ g}\) a nawiasem czy elementem \(\displaystyle{ h}\) jest działanie określone na grupie?
Definicję klasy abstrakcji i zbioru ilorazowego znam, co więcej! Rozumiem ją! Tylko, że jej intuicyjnie nie widzę.
I również nie widzę dlaczego te klasy mają być rozłączne i sumować się do całego zbioru, a w artykułach do których dotarłem piszą, że to "łatwo widać", więc wiele się nie dowiedziałem.
Bran pisze: ↑10 lut 2020, o 16:48\(\displaystyle{ (\exists h\in H)g_1=g_2h}\)
rozumiem, że między elementami \(\displaystyle{ g}\) a nawiasem czy elementem \(\displaystyle{ h}\) jest działanie określone na grupie?
Bran pisze: ↑10 lut 2020, o 16:48Definicję klasy abstrakcji i zbioru ilorazowego znam, co więcej! Rozumiem ją! Tylko, że jej intuicyjnie nie widzę.
I również nie widzę dlaczego te klasy mają być rozłączne i sumować się do całego zbioru,
Teraz to ja nie rozumiem. Twierdzisz, że rozumiesz definicje klasy abstrakcji i zbioru ilorazowego, a zaraz potem stwierdzasz, że "nie widzę dlaczego te klasy mają być rozłączne i sumować się do całego zbioru", czyli wygłaszasz dwa sprzeczne twierdzenia. Gdybyś rozumiał pojęcia klasy abstrakcji i zbioru ilorazowego, to wiedziałbyś, że różne klasy abstrakcji są rozłączne, a zbiór ilorazowy jest podziałem zbioru, na którym określona jest relacja, więc w szczególności wszystkie klasy abstrakcji w oczywisty sposób sumują się do całego zbioru.
Gdybyś dobrze rozumiał te pojęcia, to ucieszyłbyś się zobaczywszy, jak wiedza ze Wstępu do matematyki przydaje się na Algebrze abstrakcyjnej przy opisie warstw grupy względem podgrupy...
