Niech \(\displaystyle{ G ^{p}=\left\{ g ^{p}: g \in G \right\} }\). Dla \(\displaystyle{ G=\ZZ _{24} }\) skonstruuj \(\displaystyle{ G ^{3} }\) i sprawdz, że jest to podgrupa \(\displaystyle{ G}\).
Dobrze rozumiem, ze grupą będzie tu każde \(\displaystyle{ g}\) wzięte z \(\displaystyle{ \ZZ _{24} }\) podniesione do potęgi \(\displaystyle{ 3}\) ? Tylko jak tak robie to wychodzi mi że \(\displaystyle{ G ^{P} }\) ma takie same elementy jak \(\displaystyle{ G}\).
Konstruowanie grupy
Konstruowanie grupy
Ostatnio zmieniony 9 lut 2020, o 16:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Konstruowanie grupy
\(\displaystyle{ G^p}\) składa się z tych elementów \(\displaystyle{ G}\), które są \(\displaystyle{ p}\)-tymi potęgami elementów \(\displaystyle{ G}\). W przypadku \(\displaystyle{ G = \ZZ_{24}}\) i \(\displaystyle{ p=3}\) nie zachodzi równość \(\displaystyle{ G = G^p}\).
Re: Konstruowanie grupy
Czyli \(\displaystyle{ G ^{p}=\left\{ 0,1,8\right\} }\)? Jeśli nie to podałbyś przykładowe elementy ?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Konstruowanie grupy
Przez potęgowanie rozumie się iterowane (czyli powtarzane) działanie grupowe. Skoro w \(\displaystyle{ \ZZ_{24}}\) działaniem grupowym jest dodawanie, to potęgowanie w tej grupie jest iterowanym dodawaniem, a więc tym, co zazwyczaj nazywa się mnożeniem. Czyli:
\(\displaystyle{ 0^3 = 0 + 0 + 0 = 0 \\
1^3 = 1 + 1 + 1 = 3 \\
2^3 = 2 + 2 + 2 = 6 \\
\vdots \\
k^3 = k + k + k = 3k}\)
i stąd \(\displaystyle{ \ZZ_{24}^3 = \{ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 \}}\).
\(\displaystyle{ 0^3 = 0 + 0 + 0 = 0 \\
1^3 = 1 + 1 + 1 = 3 \\
2^3 = 2 + 2 + 2 = 6 \\
\vdots \\
k^3 = k + k + k = 3k}\)
i stąd \(\displaystyle{ \ZZ_{24}^3 = \{ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 \}}\).