Konstruowanie grupy

[Kate2410]

Niech \(\displaystyle{ G ^{p}=\left\{ g ^{p}: g \in G \right\} }\). Dla \(\displaystyle{ G=\ZZ _{24} }\) skonstruuj \(\displaystyle{ G ^{3} }\) i sprawdz, że jest to podgrupa \(\displaystyle{ G}\).

Dobrze rozumiem, ze grupą będzie tu każde \(\displaystyle{ g}\) wzięte z \(\displaystyle{ \ZZ _{24} }\) podniesione do potęgi \(\displaystyle{ 3}\) ? Tylko jak tak robie to wychodzi mi że \(\displaystyle{ G ^{P} }\) ma takie same elementy jak \(\displaystyle{ G}\).

[Dasio11]

\(\displaystyle{ G^p}\) składa się z tych elementów \(\displaystyle{ G}\), które są \(\displaystyle{ p}\)-tymi potęgami elementów \(\displaystyle{ G}\). W przypadku \(\displaystyle{ G = \ZZ_{24}}\) i \(\displaystyle{ p=3}\) nie zachodzi równość \(\displaystyle{ G = G^p}\).

[Kate2410]

Czyli \(\displaystyle{ G ^{p}=\left\{ 0,1,8\right\} }\)? Jeśli nie to podałbyś przykładowe elementy ?

[Dasio11]

Przez potęgowanie rozumie się iterowane (czyli powtarzane) działanie grupowe. Skoro w \(\displaystyle{ \ZZ_{24}}\) działaniem grupowym jest dodawanie, to potęgowanie w tej grupie jest iterowanym dodawaniem, a więc tym, co zazwyczaj nazywa się mnożeniem. Czyli:

\(\displaystyle{ 0^3 = 0 + 0 + 0 = 0 \\
1^3 = 1 + 1 + 1 = 3 \\
2^3 = 2 + 2 + 2 = 6 \\
\vdots \\
k^3 = k + k + k = 3k}\)

i stąd \(\displaystyle{ \ZZ_{24}^3 = \{ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 \}}\).