Suma prosta dwóch podgrup

[Kspaeterna]

Sprawdzić, że \(\displaystyle{ \RR^* = \{−1, 1\}\oplus\RR^+}\).

[a4karo]

Zadałeś na tym forum mnóstwo pytań, ale w żadnym z nich nie wskazałeś choćby próby rozwiązania. To forum to nie darmowe korepetycje. Zrób coś sam, a my pomożemy gdy napotkasz trudności.
I nie chwytaj wielu srok za ogon.

[Gosda]

W dodatku zły znak: powinno być \(\displaystyle{ \simeq}\) (czy czego tam używa się do pokazania izomorfizmu), a nie \(\displaystyle{ =}\).

[Dasio11]

W dodatku zły znak: powinno być \(\displaystyle{ \simeq}\) [...], a nie \(\displaystyle{ =}\).

Znak jest dobry, bo obie grupy są podgrupami \(\displaystyle{ \RR^*}\).

[Gosda]

Moja wątpliwość wzięła się z tego, że po lewej stronie mamy zbiór liczb, a po prawej stronie zbiór par liczb (bo sumę prostą standardowo definiuje się jako iloczyn kartezjański z działaniami po współrzędnych), więc lewa i prawa strona są różne jako zbiory. Chyba że jest jakaś inna definicja sumy prostej?

[Dasio11]

W analogii do sumy prostej w algebrze liniowej, czasem spotykana jest definicja:

Grupa \(\displaystyle{ (G, \cdot)}\) jest sumą prostą swoich podgrup \(\displaystyle{ A, B \le G}\) (co zapisujemy \(\displaystyle{ G = A \oplus B}\)), gdy funkcja \(\displaystyle{ f : A \times B \to G}\) zdefiniowana wzorem \(\displaystyle{ f(a, b) = a \cdot b}\) jest izomorfizmem grup.

Gdyby w zadaniu chodziło o sprawdzenie, że \(\displaystyle{ \RR^* \cong \{ -1, 1 \} \oplus \RR^+}\) (z symbolem \(\displaystyle{ \oplus}\) rozumianym jako produkt prosty), to wystarczyłoby wskazać dowolny izomorfizm między tymi dwiema grupami. Przy obecnym zaś sformułowaniu należy wykazać, że konkretna funkcja \(\displaystyle{ f : \{ -1, 1 \} \oplus \RR^+ \to \RR^*}\), \(\displaystyle{ f(s, r) = s \cdot r}\) - jest izomorfizmem.