Wyznaczanie wszystkich homomorfizmów w pierścieniu

[Milagros221]

Wyznaczyć wszystkie homomorfizmy \(\displaystyle{ g:P_1 \rightarrow P_2}\), gdzie \(\displaystyle{ P_1=\ZZ_3}\) i \(\displaystyle{ P_2=\ZZ_{3}^2}\). Dla każdego z wyznaczonych homomorfizmów wyznaczyć jądro i obraz.

[arek1357]

zobacz jakie są podpierścienie \(\displaystyle{ P_{2}}\)

[Milagros221]

Wszystkie homomorfizmy to:
\(\displaystyle{
\\1)g(x)=(0,0)
\\2)g(x)=(0,x)
\\3)g(x)=(x,0)
\\4)g(x)=(x,x)
}\)
Czy to są wszystkie homomorfizmy ?

[arek1357]

W sumie tak...

[Milagros221]

\(\displaystyle{
1) Img=\{0\}; Kerg=\mathbb{Z}_3
\\2) Img=\{0\} \times \mathbb{Z}_3; Kerg=\{0\}
\\3) Img=\mathbb{Z}_3 \times \{0\}; Kerg=\{0\}
\\4) Img=\mathbb{Z}_{3}^2; Kerg=\{0\}}\)
Czy obraz i jądro homomorfizmu wyglądają tak?

[arek1357]

w czwartym :

\(\displaystyle{ Im(g)=\left\{ (0,0)(1,1)(2,2)\right\} }\)

\(\displaystyle{ ker(g)=\left\{ 0\right\} }\)

[Milagros221]

Dziękuję