Rzędy elementów

[Kate2410]

Niech \(\displaystyle{ \alpha =\left( 2,4\right)\left( 7,3\right)\left( 7,10\right) \in S _{13} }\).
Podaj \(\displaystyle{ G=\left< \alpha \right>}\).
Podaj rzędy wszystkich elementów w \(\displaystyle{ H=G \times \ZZ _{6} }\). Czy \(\displaystyle{ H}\) jest grupą cykliczną?

Policzyłam \(\displaystyle{ G}\) wyszło \(\displaystyle{ \left< \alpha , \alpha ^{2},..., \alpha ^{6} \right>}\) .
Niestety nie mam pojęcia jak wyznaczyć to \(\displaystyle{ H}\) jak to się liczy, jak wyznaczyć wszystkie elementy \(\displaystyle{ H}\)?

[Kordyt]

A czym jest \(\displaystyle{ H}\) gdybyś miała to słownie opisać ?

[Kate2410]

\(\displaystyle{ H= \left\{ \alpha , \alpha ^{2}, \alpha ^{3}, \alpha ^{4}, \alpha ^{5}, \alpha ^{6} \right\} \times \left\{ 0,1,2,3,4,5\right\} }\)
Czyli
\(\displaystyle{ H=\left\{ \alpha 0, \alpha 1, \alpha 2, \alpha 3, \alpha 4, \alpha 5, \alpha ^{2}0 ... \right\} }\)
Dobrze myślę?

[a4karo]

A co jest elementem neutralnym w `G`? Potrafisz powiedzieć czym jest grupa `G`?

[Kate2410]

Elementem neutralnym \(\displaystyle{ G}\) jest \(\displaystyle{ \alpha ^{6} }\)
A \(\displaystyle{ G}\) to wszystkie możliwe złożenia permutacji ?

[a4karo]

A jak się nazywa grupa rzędu 6, która ma element rzędu 6?

[Kate2410]

Grupa cykliczna?

[a4karo]

No właśnie. Masz zatem do czynienia z produktem dwóch grup cyklicznych rzędu 6.

Teraz już łatwo odpowiesz na pytanie z zadania.

[Kate2410]

Nie bardzo wiem jak podać rzędy wszystkich elementów z \(\displaystyle{ H}\)

[a4karo]

Zastanów się jaki rząd maksymalnie może mieć element tej grupy

Dodano po 2 minutach 17 sekundach:
Policz sobie parę rzędów

[arek1357]

\(\displaystyle{ \alpha=(2,4)(3,7,10)}\)

Taki zapis jest dużo bardziej zrozumiały...

Zapis typu:

\(\displaystyle{ \alpha=(2,4)(7,3)(7,10)}\) - jest bardzo zaciemniający , często się z tym spotykam tego typu zapisy tylko prowadzą do nieporozumień, nie jest to tylko moja opinia ale opinia wielu tych z którymi rozmawiałem..., trzeba kilka razy przecierać oczy , żeby skumać o co chodzi...

Powiem więcej ten zapis może pomóc ucznia skutecznie zniechęcić do matematyki...

Dodano po 2 godzinach 9 minutach 50 sekundach:
\(\displaystyle{ H}\) izom., z \(\displaystyle{ H^*}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ H^*=\left\{ (a,b),a,b \in \ZZ_{6}\right\} }\)

\(\displaystyle{ H\equiv H^* }\) abelowa ale na pewno nie cykliczna