Rząd grupy izometrii własnych bryły

[Kate2410]

Witam mam problem z tym zadaniem:
Sklejamy podstawami dwa przystające ostrosłupy prawidłowe dwunastokątne i otrzymujemy bryłę \(\displaystyle{ B}\). Korzystajac z twierdzenia o orbicie i stabilizatorze oblicz rząd grupy \(\displaystyle{ G}\) izomerii własnych bryły \(\displaystyle{ B}\) .

Obliczyłam liczbę izometrii własnych dwunastokąta foremnego i wyszło mi \(\displaystyle{ 24}\) (\(\displaystyle{ Orb(x)=12 }\) i \(\displaystyle{ G _{x}=2 , bo(id, symetria ) }\).
Niestety nie wiem jak to przełożyć na całą bryłe. Stwierdziłam, że mamy też \(\displaystyle{ id}\) \(\displaystyle{ symetrie}\) \(\displaystyle{ wzgledem}\) \(\displaystyle{ płaszczyzny}\) stąd pomnożyłam wynik razy \(\displaystyle{ 2}\). Finalnie wyszło mi \(\displaystyle{ 48}\).
Czy moje rozumowanie jest poprawne?
Konieczne jest to, aby wykazać liczbę izometrii korzystając z orbity i stabilizatora nie można przedstawić rozumowania nie wykorzystując tego.

[Gosda]

Niech \(\displaystyle{ G}\) oznacza grupę automorfizmów bryły, ustalmy wierzchołek \(\displaystyle{ x}\) jednej z piramid. Każdy automorfizm posyła go albo na siebie, albo na wierzchołek drugiego ostrosłupa, więc \(\displaystyle{ |G \cdot x| = 2}\). Zastanówmy się teraz nad stabilizatorem. Ustalmy jeszcze parę wierzchołków \(\displaystyle{ y, z}\) należących do dwunastokąta - podstawy ostrosłupów. Każdy element grupy, który trzyma \(\displaystyle{ x}\), przenosi \(\displaystyle{ y}\) na jeden z dwunastu wierzchołków, natomiast \(\displaystyle{ z}\) na jednego z dwóch sąsiadów obrazu \(\displaystyle{ y}\). Więc stabilizator ma \(\displaystyle{ 12 \cdot 2}\) elementów.

Z twierdzenia o orbicie i stabilizatorze, \(\displaystyle{ |G| = |G\cdot x| \cdot |G_x| = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 48}\).

[Kate2410]

A co z orbitą ? Nie rozumiem dlaczego u ciebie jest to tylko \(\displaystyle{ 2}\).

[Gosda]

Bo z wierzchołka ostrosłupa wychodzi dwanaście krawędzi, więc jego obraz też musi łączyć się z dwunastoma innymi wierzchołkami. A takich wierzchołków jest całe dwa.