Niewymierność w mianowniku
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 3 kwie 2018, o 17:55
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 3 razy
Niewymierność w mianowniku
Uwolnij dane wyrażenie od niewymierności w mianowniku:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{5}+ \sqrt[3]{7} +1} }\)
Pierwsza myśl była taka:
\(\displaystyle{ \sqrt{5}= \sqrt[6]{125} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{7}= \sqrt[6]{49} }\)
i tak uwolnić to wyrażenie od niewymierności. Aczkolwiek potem nie wiem co dalej z tym.
Bardzo proszę chociaż o wskazówkę.
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{5}+ \sqrt[3]{7} +1} }\)
Pierwsza myśl była taka:
\(\displaystyle{ \sqrt{5}= \sqrt[6]{125} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{7}= \sqrt[6]{49} }\)
i tak uwolnić to wyrażenie od niewymierności. Aczkolwiek potem nie wiem co dalej z tym.
Bardzo proszę chociaż o wskazówkę.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Niewymierność w mianowniku
A spróbuj może tak: niech `a=\sqrt5+1`. Wtedy stosując wzór `p^3+q^3=(p+q)(p^2-pq+q^2)` dostaniesz
\( \frac{1}{ \sqrt{5}+ \sqrt[3]{7} +1} = \frac{1}{ \sqrt[3]{7} +a} =\frac{\sqrt[3]{49}-a\sqrt[3]{7}+a^2}{7+a^3}\)
Z tym ostatnim mianownikiem pewnie sobie poradzisz
\( \frac{1}{ \sqrt{5}+ \sqrt[3]{7} +1} = \frac{1}{ \sqrt[3]{7} +a} =\frac{\sqrt[3]{49}-a\sqrt[3]{7}+a^2}{7+a^3}\)
Z tym ostatnim mianownikiem pewnie sobie poradzisz
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 3 kwie 2018, o 17:55
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 3 razy
Re: Niewymierność w mianowniku
Więc po wykonaniu wszystkich obliczeń wynik to:
\(\displaystyle{ \frac{2}{8}( \sqrt{5}-1)+ \frac{ \sqrt[3]{7} }{8}( \sqrt{5}-3)+ \frac{ \sqrt[3]{49} }{8}( \sqrt{5} -2)}\)
Zgadza się?
\(\displaystyle{ \frac{2}{8}( \sqrt{5}-1)+ \frac{ \sqrt[3]{7} }{8}( \sqrt{5}-3)+ \frac{ \sqrt[3]{49} }{8}( \sqrt{5} -2)}\)
Zgadza się?
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 3 kwie 2018, o 17:55
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 3 razy
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Niewymierność w mianowniku
Żeby umieć policzyć niektóre granice (na przykład pochodną z \(\displaystyle{ x^{-1/2}}\)? Albo dlatego, że dzielenie przez liczbę całkowitą jest zazwyczaj prostsze niż dzielić przez pierwiastek? Chociaż w dobie komputerów ten drugi argument trochę słaby jest.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Niewymierność w mianowniku
Bo jeśli uznamy po inżyniersku, że \(\displaystyle{ \sqrt{15} \approx 4 }\) to przybliżenie
\(\displaystyle{ \frac{1}{4.1 - \sqrt{15}} \approx \frac{1}{0.01}=100 }\)
jest tragiczne a
\(\displaystyle{ \frac{1}{4.1- \sqrt{15}}= \frac{410+100 \sqrt{15} }{181} \approx \frac{410+100 \cdot 4 }{181} = \frac{810}{181} }\)
jest całkiem niezłe.
Więc okazuje się, że gdy się wyjdzie z niewymierności to błąd się "nie propaguje" jakkolwiek nieformalnie to brzmi. Choć faktycznie w dobie komputerów to ma już małe znaczenie... tylko, że system szkolny jest sprzed doby komputerów.
\(\displaystyle{ \frac{1}{4.1 - \sqrt{15}} \approx \frac{1}{0.01}=100 }\)
jest tragiczne a
\(\displaystyle{ \frac{1}{4.1- \sqrt{15}}= \frac{410+100 \sqrt{15} }{181} \approx \frac{410+100 \cdot 4 }{181} = \frac{810}{181} }\)
jest całkiem niezłe.
Więc okazuje się, że gdy się wyjdzie z niewymierności to błąd się "nie propaguje" jakkolwiek nieformalnie to brzmi. Choć faktycznie w dobie komputerów to ma już małe znaczenie... tylko, że system szkolny jest sprzed doby komputerów.
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 15 lip 2014, o 21:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 1 raz
Re: Niewymierność w mianowniku
Ja od siebie dorzucę:
- oszacowanie w pamięci, gdzie dana liczba jest na osi (dzielenie przez przybliżenia obarczone jest dużym błędem - jak napisał wyżej Janusz Tracz)
- wygląd estetyczny (choć to pojęcie względne)
- trening w rachunkach (w kontekście przyszłości - liczby zespolone, tam podobnie przemnażamy przez sprzężenie)
- umiejscowienie liczby w strukturze algebraicznej (np. w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt{3}]}\))
- oszacowanie w pamięci, gdzie dana liczba jest na osi (dzielenie przez przybliżenia obarczone jest dużym błędem - jak napisał wyżej Janusz Tracz)
- wygląd estetyczny (choć to pojęcie względne)
- trening w rachunkach (w kontekście przyszłości - liczby zespolone, tam podobnie przemnażamy przez sprzężenie)
- umiejscowienie liczby w strukturze algebraicznej (np. w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt{3}]}\))