Istnienie elementu określonego rzędu w grupie.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 27 kwie 2019, o 11:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 1 raz
Istnienie elementu określonego rzędu w grupie.
Witam, otóż mam problem z takim oto zadaniem, mam wykazać że w grupie rzędu 15 istnieje element rzędu 3 i 5. Niestety nie bardzo wiem jak się za to zabrać, wiem że rząd elementu musi dzielić rząd grupy więc rzeczywiście zarówno 3 jak i 5 spełniają ten warunek więc są kandydatami na takie elementy.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Istnienie elementu określonego rzędu w grupie.
Skorzystaj z twierdzenia Cauchy'ego.
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Cauchy%E2%80%99ego_%28teoria_grup%29
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 27 kwie 2019, o 11:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 1 raz
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Istnienie elementu określonego rzędu w grupie.
Znaleźć wszystkie grupy rzędu 15 Jest takie twierdzenie (wynikające z twierdzeń Sylowa, może istnieje bezpośredni dowód), że jeśli \(\displaystyle{ p < q}\) są pierwsze i \(\displaystyle{ p}\) nie dzieli \(\displaystyle{ q-1}\), to istnieje dokładnie jedna grupa rzędu \(\displaystyle{ pq}\), cykliczna.
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Istnienie elementu określonego rzędu w grupie.
Pewnie jak nie można z twierdzenia Cauchy'ego korzystać, to z Sylowa – tym bardziej
Łatwiejsza część zadania - wykazać, że każda grupa rzędu \(\displaystyle{ 15 }\) ma element rzędu \(\displaystyle{ 3 }\). Wskazówka: założyc przeciwnie, że nasza grupa nie ma elementu rzędu \(\displaystyle{ 3}\). Wtedy tym bardziej nie ma elementu rzędu \(\displaystyle{ 15}\). Jaka jest konkluzja?
Trudniejsza część - wykazać, że grupa rzędu \(\displaystyle{ 15}\) musi mieć element rzędu \(\displaystyle{ 5}\). Co by było, gdyby wszystkie elementy były rzędu \(\displaystyle{ 3}\)?
Łatwiejsza część zadania - wykazać, że każda grupa rzędu \(\displaystyle{ 15 }\) ma element rzędu \(\displaystyle{ 3 }\). Wskazówka: założyc przeciwnie, że nasza grupa nie ma elementu rzędu \(\displaystyle{ 3}\). Wtedy tym bardziej nie ma elementu rzędu \(\displaystyle{ 15}\). Jaka jest konkluzja?
Trudniejsza część - wykazać, że grupa rzędu \(\displaystyle{ 15}\) musi mieć element rzędu \(\displaystyle{ 5}\). Co by było, gdyby wszystkie elementy były rzędu \(\displaystyle{ 3}\)?
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Istnienie elementu określonego rzędu w grupie.
Nie rozumiem. Co ma dowolna liczba pierwsza p do liczby 5? Nie jest prawdą to wyżej; jakaś liczba pierwsza p zwykle dzieli rząd grupy, ale nie oznacza to, że w grupie jest element rzędu 5
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Istnienie elementu określonego rzędu w grupie.
Dodano po 1 minucie 17 sekundach:Twierdzenie Cauchy’ego – twierdzenie teorii grup, mówi ono, że jeśli G jest grupą skończoną i p jest liczbą pierwszą, będącą dzielnikiem rzędu grupy G (liczby elementów grupy G), to w G istnieje element rzędu p.
To że 5 też jest liczbą pierwszą ...Co ma dowolna liczba pierwsza p do liczby 5
Coś jeszcze?