Istnienie elementu określonego rzędu w grupie.

[Maciek6997]

Witam, otóż mam problem z takim oto zadaniem, mam wykazać że w grupie rzędu 15 istnieje element rzędu 3 i 5. Niestety nie bardzo wiem jak się za to zabrać, wiem że rząd elementu musi dzielić rząd grupy więc rzeczywiście zarówno 3 jak i 5 spełniają ten warunek więc są kandydatami na takie elementy.

[Premislav]

Skorzystaj z twierdzenia Cauchy'ego.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Cauchy%E2%80%99ego_%28teoria_grup%29

[Maciek6997]

A nie korzystając z twierdzenie Cauch'ego?

[Gosda]

Znaleźć wszystkie grupy rzędu 15 Jest takie twierdzenie (wynikające z twierdzeń Sylowa, może istnieje bezpośredni dowód), że jeśli \(\displaystyle{ p < q}\) są pierwsze i \(\displaystyle{ p}\) nie dzieli \(\displaystyle{ q-1}\), to istnieje dokładnie jedna grupa rzędu \(\displaystyle{ pq}\), cykliczna.

[karolex123]

Pewnie jak nie można z twierdzenia Cauchy'ego korzystać, to z Sylowa – tym bardziej

Łatwiejsza część zadania - wykazać, że każda grupa rzędu \(\displaystyle{ 15 }\) ma element rzędu \(\displaystyle{ 3 }\). Wskazówka: założyc przeciwnie, że nasza grupa nie ma elementu rzędu \(\displaystyle{ 3}\). Wtedy tym bardziej nie ma elementu rzędu \(\displaystyle{ 15}\). Jaka jest konkluzja?

Trudniejsza część - wykazać, że grupa rzędu \(\displaystyle{ 15}\) musi mieć element rzędu \(\displaystyle{ 5}\). Co by było, gdyby wszystkie elementy były rzędu \(\displaystyle{ 3}\)?

[arek1357]

Jeżeli p liczba pierwsza dzieli rząd grupy to w grupie jest element rzędu 5...

Co przeczy temu...

[karolex123]

Nie rozumiem. Co ma dowolna liczba pierwsza p do liczby 5? Nie jest prawdą to wyżej; jakaś liczba pierwsza p zwykle dzieli rząd grupy, ale nie oznacza to, że w grupie jest element rzędu 5

[arek1357]

Twierdzenie Cauchy’ego – twierdzenie teorii grup, mówi ono, że jeśli G jest grupą skończoną i p jest liczbą pierwszą, będącą dzielnikiem rzędu grupy G (liczby elementów grupy G), to w G istnieje element rzędu p.

Dodano po 1 minucie 17 sekundach:

Co ma dowolna liczba pierwsza p do liczby 5

To że 5 też jest liczbą pierwszą ...

Coś jeszcze?