Twierdzenie Krulla - problem ze zrozumieniem dowodu

[Jureczek123]

Dowód znajduje się tutaj:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Krulla

Linijka, na której utknąłem:

Wystarczy więc dowieść, że \(\displaystyle{ {\displaystyle J=\bigcup {\mathcal {J}}}}\) należy do \(\displaystyle{ {\displaystyle {\mathcal {I}},}}\) a ponieważ \(\displaystyle{ {\displaystyle I\subseteq J,}}\) to pozostaje sprawdzić, że \(\displaystyle{ {\displaystyle J}}\) jest ideałem właściwym:

Skąd te \(\displaystyle{ J}\) sobie wytrzasnęli xD? Dlaczego wystarczy dowieść, że \(\displaystyle{ J= \bigcup \mathcal{J}}\) należy do \(\displaystyle{ \mathcal{I}?}\) Skąd wiemy, że \(\displaystyle{ I \subseteq J}\)? Dlaczego wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ J}\) jest właściwy?

[Jan Kraszewski]

Skąd te \(\displaystyle{ J}\) sobie wytrzasnęli xD?

Taki mieli pomysł... A poważnie, to jest to typowe rozumowanie oparte na Lemacie Kuratowskiego-Zorna. Założenie LKZ mówi, że każdy łańcuch w rozważanym zbiorze częściowo uporządkowanym ma ograniczenie górne. Jeżeli zbiór częściowo uporządkowany, do którego chcemy zastosować LKZ, jest rodziną zbiorów uporządkowaną przez zawieranie, to dla ustalonego łańcucha w tym porządku naturalnym kandydatem na jego ograniczenie górne jest jego suma - suma rodziny zbiorów jest nadzbiorem każdego zbioru z tej rodziny, więc ogranicza od góry łańcuch. Wystarczy zatem sprawdzić, że ta suma jest też elementem rozważanego zbioru częściowo uporządkowanego. W tym wypadku oznacza to, że jest ideałem właściwym i zawiera \(\displaystyle{ I}\) (bo tak są zdefiniowane elementy rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{I}}\)).

Dlaczego wystarczy dowieść, że \(\displaystyle{ J= \bigcup \mathcal{J}}\) należy do \(\displaystyle{ \mathcal{I}?}\)

Masz to wytłumaczone powyżej - gdy to pokażesz, to będziesz mógł do rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{I}}\) zastosować LKZ, z którego wynika, że w \(\displaystyle{ \mathcal{I}}\) istnieje element maksymalny, a dokładnie to mówi teza twierdzenia Krulla.

Skąd wiemy, że \(\displaystyle{ I \subseteq J}\)?

Z własności sumy zbiorów - suma rodziny zbiorów jest nadzbiorem każdego zbioru z tej rodziny, a wiemy, że \(\displaystyle{ I\in\mathcal{I}}\).

Dlaczego wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ J}\) jest właściwy?

Bo to ostatni element układanki - patrz wyżej.

JK

[Jureczek123]

Skąd wiemy, że \(\displaystyle{ I \subseteq J}\)?

Z własności sumy zbiorów - suma rodziny zbiorów jest nadzbiorem każdego zbioru z tej rodziny, a wiemy, że \(\displaystyle{ I\in\mathcal{I}}\).

Okej, jak dobrze zrozumiałem: \(\displaystyle{ J= \bigcup_{\mathcal{J\in \mathcal{L}}}^{} \mathcal{J}.}\) Dalej nie widzę \(\displaystyle{ I \subseteq J}\), przecież niekoniecznie \(\displaystyle{ I \ \in \mathcal{L}}\)

[krl]

Okej, jak dobrze zrozumiałem: \(\displaystyle{ J= \bigcup_{\mathcal{J\in \mathcal{L}}}^{} \mathcal{J}.}\) Dalej nie widzę \(\displaystyle{ I \subseteq J}\), przecież niekoniecznie \(\displaystyle{ I \ \in \mathcal{L}}\)

I dobrze, że nie widzisz, bo dowód w linku w Wikipedii jest, powiedzmy, niestaranny (czyli: literalnie rzecz biorąc, błędny).
Należałoby go poprawić: Rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{I}}\) powinna się składać ze wszystkich ideałów właściwych w \(\displaystyle{ R}\), które zawierają dany ustalony ideał \(\displaystyle{ I}\). Dalej: zapis \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{J}}\) w dowodzie jest niepoprawny, gdyż \(\displaystyle{ \mathcal{J}}\) nie jest wcześniej określone (nie wiadomo, co oznacza). Zamiast \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{J}}\) powinno być napisane \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{L}}\), czy w innej formie \(\displaystyle{ \bigcup_{S\in \mathcal{L}}S}\) (to jest inny sposób zapisu sumy rodziny zbiorów, ale to już sam zauważyłeś).
Czytając dowody warto pamiętać, że mogą w nich być błędy, przeoczenia.

[Jan Kraszewski]

Dalej nie widzę \(\displaystyle{ I \subseteq J}\), przecież niekoniecznie \(\displaystyle{ I \ \in \mathcal{L}}\)

OK, pisząc \(\displaystyle{ I\in \mathcal{I}}\) użyłem nieodpowiedniego argumentu. Trzeba też zwrócić uwagę, że w Wiki jest niepoprawnie sformułowany początek dowodu. Powinno być:

"Niech \(\displaystyle{ \mathcal {I}}\) oznacza rodzinę wszystkich ideałów właściwych pierścienia \(\displaystyle{ R}\) zawierających ustalony ideał \(\displaystyle{ I}\)"

Ponieważ wszystkie elementy rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{I}}\) zawierają \(\displaystyle{ I}\) (z definicji rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{I}}\)), więc dowolna suma elementów tej rodziny (w szczególności - suma łańcucha) też zawiera \(\displaystyle{ I}\).

JK

[Jureczek123]

Jeszcze jedno pytanie: odnośnie pierwszej kropki. Skąd wiemy, że jeśli \(\displaystyle{ a, b \in J}\) to istnieją ideały \(\displaystyle{ I_1, I_2 \in \mathcal{L}}\), dla których \(\displaystyle{ a\in I_1, b\in I_2?}\) Przecież \(\displaystyle{ a, b }\) mogą wpaść do jednego \(\displaystyle{ I_k.}\)

[Jan Kraszewski]

No to tym lepiej. Wtedy \(\displaystyle{ I_1=I_2.}\) Ale nie trzeba rozpatrywać tego przypadku osobno, bo napisane rozwiązanie go obejmuje.

JK

[Jureczek123]

Oczywiście... Dziękuję Panom za pomoc.