Mam niestety spory problem z algebrą abstrakcyjną, póki co jest to na prawdę kosmos. Czy mógłby ktoś wesprzeć i powiedzieć jak powinno się rozwiązywać takie zadania?
1. Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest abelowa rzędu \(\displaystyle{ 78}\), to \(\displaystyle{ G}\) jest cykliczna.
2. Niech \(\displaystyle{ |G| = 2 }\) oraz niech \(\displaystyle{ H}\) będzie podgrupą normalną rzędu \(\displaystyle{ 5}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ G}\) jest abelowa.
3.Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest grupą rzędu \(\displaystyle{ 10}\) i \(\displaystyle{ G}\) ma dokładnie jeden element rzędu \(\displaystyle{ 2}\), to \(\displaystyle{ G}\) jest grupą cykliczną.
4. Wskaż element maksymalnego rzędu w grupie \(\displaystyle{ S_{6}}\).
Niestety, nie mam pojęcia od czego zacząć. Znam tw. Lagrange'a o tym że rząd grupy skończonej jest podzielny przed rząd podgrupy, jednakże, co to ma do tych zadań to nie wiem. Staram się przerobić teorię z "Wstęp do teorii grup" Czesława Bagińskiego, jednakże tego typu zadań tam nie znalazłem.
Jeśli mogę liczyć na pomoc w rozwiązaniu, będę bardzo dziękował .
Ostatnio zmieniony 19 lis 2019, o 17:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Poprawa wiadomości.
mmss pisze: ↑19 lis 2019, o 17:032. Niech \(\displaystyle{ |G| = 2 }\) oraz niech \(\displaystyle{ H}\) będzie podgrupą normalną rzędu \(\displaystyle{ 5}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ G}\) jest abelowa.
Niech \(\displaystyle{ |G| = 20 }\) oraz niech \(\displaystyle{ H }\) będzie podgrupą normalną rzędu \(\displaystyle{ 5 }\). Pokaż Ze \(\displaystyle{ G }\) jest abelowa.
1. Wskazówka: wykaż, że jeśli w dowolnej grupie abelowej \(\displaystyle{ H}\) istnieją elementy \(\displaystyle{ a, b \in G}\) rzędów \(\displaystyle{ k, \ell \in \NN}\) odpowiednio, gdzie \(\displaystyle{ \mathrm{NWD}(k, \ell) = 1}\), to w \(\displaystyle{ H}\) istnieje też element rzędu \(\displaystyle{ k \cdot \ell}\). Następnie w grupie \(\displaystyle{ G}\) zastosuj twierdzenie Cauchy'ego lub Sylowa, aby otrzymać elementy \(\displaystyle{ a, b, c \in G}\) rzędów \(\displaystyle{ 2, 3, 13}\) odpowiednio i wywnioskuj, że w tej grupie istnieje element rzędu \(\displaystyle{ 78 = 2 \cdot 3 \cdot 13}\).
2. jest nieprawdziwe, bo każda grupa rzędu \(\displaystyle{ 20}\) ma podgrupę normalną rzędu \(\displaystyle{ 5}\), w tym grupa diedralna. A ta jak wiadomo nie jest przemienna.
3. Niech \(\displaystyle{ a \in G}\) będzie elementem rzędu \(\displaystyle{ 2}\). Zauważmy, że każdy element \(\displaystyle{ b \in G}\) jest przemienny z \(\displaystyle{ a}\), bo \(\displaystyle{ bab^{-1}}\) też jest elementem rzędu \(\displaystyle{ 2}\), zatem \(\displaystyle{ bab^{-1} = a}\) czyli \(\displaystyle{ ba = ab}\). Weźmy teraz element \(\displaystyle{ b \in G}\) rzędu \(\displaystyle{ 5}\) (który istnieje na mocy twierdzenia Cauchy'ego). Wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ ab}\) jest rzędu \(\displaystyle{ 10}\).
.
