Proszę ocenić mój szkic dowodu.Two ideals \(\displaystyle{ A}\) and \(\displaystyle{ B}\) in the commutative ring \(\displaystyle{ R}\) are called coprime (or comaximal) if \(\displaystyle{ A + B = R.}\) This generalizes Bézout's identity: with this definition, two principal ideals \(\displaystyle{ (a) }\) and \(\displaystyle{ (b)}\) in the ring of integers \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) are coprime if and only if \(\displaystyle{ a }\) and \(\displaystyle{ b }\) are coprime.
Wiemy, że ideały w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) są postaci \(\displaystyle{ n\mathbb{Z}=\left\langle n\right\rangle }\), gdzie \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N_0}.}\)
Ustalmy \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{Z}}\). Mamy:
\(\displaystyle{ \left\langle a\right\rangle+\left\langle b\right\rangle =\left\{k+m:k\in\left\langle a\right\rangle ,m\in\left\langle b\right\rangle \right\} =\left\{ ak+bm: k,m\in\mathbb{Z}\right\} }\)
Lemat \(\displaystyle{ 1}\)
Równanie diofantyczne \(\displaystyle{ ak+bm=1}\) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\)
Lemat \(\displaystyle{ 2}\)
Jeśli \(\displaystyle{ A,B}\) są ideałami to \(\displaystyle{ A+B=\left\{a+b: a\in A,b\in B\right\} }\) też jest ideałem.
Lemat \(\displaystyle{ 3}\)
Gdy \(\displaystyle{ 1\in I}\) to \(\displaystyle{ I=R.}\)
Ponieważ wiemy, że \(\displaystyle{ A+B}\) to ideał i spełniony jest lemat \(\displaystyle{ 3}\), zatem istotnie teza jest spełniona.
Czy to jest poprawny dowód?
Jeszcze kolejne zdanie, z tego samego artykułu, którego nie rozumiem:
O co tu chodzi?If the ideals \(\displaystyle{ A}\) and \(\displaystyle{ B}\) of \(\displaystyle{ R}\) are coprime, then \(\displaystyle{ AB = A∩B}\)
Cały artkuł:
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Coprime_integers