Ideały względnie pierwsze

[Jureczek123]

Cytując angielską wikipedie:

Two ideals \(\displaystyle{ A}\) and \(\displaystyle{ B}\) in the commutative ring \(\displaystyle{ R}\) are called coprime (or comaximal) if \(\displaystyle{ A + B = R.}\) This generalizes Bézout's identity: with this definition, two principal ideals \(\displaystyle{ (a) }\) and \(\displaystyle{ (b)}\) in the ring of integers \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) are coprime if and only if \(\displaystyle{ a }\) and \(\displaystyle{ b }\) are coprime.

Proszę ocenić mój szkic dowodu.
Wiemy, że ideały w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) są postaci \(\displaystyle{ n\mathbb{Z}=\left\langle n\right\rangle }\), gdzie \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N_0}.}\)
Ustalmy \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{Z}}\). Mamy:
\(\displaystyle{ \left\langle a\right\rangle+\left\langle b\right\rangle =\left\{k+m:k\in\left\langle a\right\rangle ,m\in\left\langle b\right\rangle \right\} =\left\{ ak+bm: k,m\in\mathbb{Z}\right\} }\)
Lemat \(\displaystyle{ 1}\)
Równanie diofantyczne \(\displaystyle{ ak+bm=1}\) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\)
Lemat \(\displaystyle{ 2}\)
Jeśli \(\displaystyle{ A,B}\) są ideałami to \(\displaystyle{ A+B=\left\{a+b: a\in A,b\in B\right\} }\) też jest ideałem.
Lemat \(\displaystyle{ 3}\)
Gdy \(\displaystyle{ 1\in I}\) to \(\displaystyle{ I=R.}\)
Ponieważ wiemy, że \(\displaystyle{ A+B}\) to ideał i spełniony jest lemat \(\displaystyle{ 3}\), zatem istotnie teza jest spełniona.
Czy to jest poprawny dowód?

Jeszcze kolejne zdanie, z tego samego artykułu, którego nie rozumiem:

If the ideals \(\displaystyle{ A}\) and \(\displaystyle{ B}\) of \(\displaystyle{ R}\) are coprime, then \(\displaystyle{ AB = A∩B}\)

O co tu chodzi?
Cały artkuł:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Coprime_integers

, zakładka Coprimality in ring ideals.

[Dasio11]

Ponieważ wiemy, że \(\displaystyle{ A+B}\) to ideał i spełniony jest lemat \(\displaystyle{ 3}\), zatem istotnie teza jest spełniona.

To podsumowanie jest według mnie za mało szczegółowe, lepiej byłoby tak:

\(\displaystyle{ \begin{align*}
\left< a \right> \text{ i } \left< b \right> \text{ są względnie pierwsze } & \iff \left< a \right> + \left< b \right> = R \stackrel{\text{L2} + \text{L3}}{\iff} 1 \in \left< a \right> + \left< b \right> \\
& \iff \text{ równanie } ak+bm = 1 \text{ ma rozwiązanie } (k, m) \in \ZZ^2 \\
& \stackrel{\text{L1}}{\iff} a, b \text{ są względnie pierwsze}.
\end{align*}}\)

If the ideals \(\displaystyle{ A}\) and \(\displaystyle{ B}\) of \(\displaystyle{ R}\) are coprime, then \(\displaystyle{ AB = A \cap B}\)

O co tu chodzi?

Jeśli \(\displaystyle{ A, B}\) są ideałami, to \(\displaystyle{ AB}\) jest ideałem generowanym przez iloczyny \(\displaystyle{ a \cdot b}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in A, b \in B}\). Czyli

\(\displaystyle{ AB = \{ a_1 b_1 + \ldots + a_n b_n : a_1, \ldots, a_n \in A, b_1, \ldots, b_n \in B \}}\).

[Jureczek123]

Dzięki za odpowiedź. Co do równości, czy takie uzasadnienie jest poprawne i wystarczające?
Mamy \(\displaystyle{ AB \subseteq AR \subseteq A}\) oraz \(\displaystyle{ AB\subseteq BR\subseteq B}\), gdzie odpowiednio pierwsze przejście zachodzi ze względu na \(\displaystyle{ B \subseteq R}\), a drugie na zamkniętość mnożenia w ideale przez element z pierścienia. Mamy zatem \(\displaystyle{ AB \subseteq A \cap B}\). Zawieranie z drugiej strony: ustalmy\(\displaystyle{ c \in A \cap B}\). Bez straty ogólności, niech \(\displaystyle{ c= a_k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k }\) naturalnego. Wówczas przyjmując \(\displaystyle{ a_i=b_i=0}\) dla \(\displaystyle{ i \neq k }\) oraz \(\displaystyle{ b_k=r}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ r \in R}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A \cap B \subseteq AB.}\) Ma to sens?

[Dasio11]

Zawieranie \(\displaystyle{ (\subseteq)}\) udowodniłeś poprawnie, ale drugiego nie. Powinieneś przedstawić ustalone przez siebie \(\displaystyle{ c \in A \cap B}\) w postaci \(\displaystyle{ a_1 b_1 + \ldots + a_n b_n}\), gdzie \(\displaystyle{ a_i \in A, b_i \in B}\). O ile rozumiem, tym wyrażeniem jest u Ciebie iloczyn \(\displaystyle{ c \cdot r}\). Ale po pierwsze nie wiadomo, czy \(\displaystyle{ r \in B}\), a po drugie niekoniecznie zachodzi równość \(\displaystyle{ c = c \cdot r}\).

A poza tym nie skorzystałeś ze względnej pierwszości \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), a bez tego założenia teza nie zawsze jest prawdziwa.

[Jureczek123]

Okej, mamy \(\displaystyle{ a+b=1}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a\in A, b\in B}\). Dla \(\displaystyle{ x\in A \cap B}\): \(\displaystyle{ xa+xb=x}\). \(\displaystyle{ xa}\) należy do \(\displaystyle{ AB}\) ponieważ \(\displaystyle{ x\in A \cap B}\) i podobnie \(\displaystyle{ xb}\). \(\displaystyle{ x}\) jest sumą dwóch elementów z \(\displaystyle{ AB}\), koniec.

Jeszcze kilka pytań:
Znalazłem też definicje \(\displaystyle{ IJ=\left\{ r_1a_1b_1+ ...+r_na_nb_n:r_i\in R,a_i \in A,b_i\in B,1 \le i \le n ,n\in\mathbb{N}\right\}}\). Jest ona równoważna z przytoczoną powyżej?
Kolejne pytanie odnośnie tego dowodu 3 z tej strony:

Kod: Zaznacz cały

https://proofwiki.org/wiki/Maximal_Ideal_iff_Quotient_Ring_is_Field

i implikacji \(\displaystyle{ J }\)- ideał maksymalny to \(\displaystyle{ R/J}\) to ciało.
Pierwszy problem - nie powinno tam być \(\displaystyle{ a}\) zamiast \(\displaystyle{ x?}\)
Dodatkowo, skąd z tego
\(\displaystyle{ \exists j\in J, r \in R: j+ra=1}\)
wzięło się
\(\displaystyle{ (r+J)(a+J)=(1-u)J=1+J?}\)

[Dasio11]

Dowód drugiego zawierania jest poprawny.

Znalazłem też definicje \(\displaystyle{ IJ=\left\{ r_1a_1b_1+ ...+r_na_nb_n:r_i\in R,a_i \in A,b_i\in B,1 \le i \le n ,n\in\mathbb{N}\right\}}\). Jest ona równoważna z przytoczoną powyżej?

Jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest pierścieniem z jedynką, to tak.

Pierwszy problem - nie powinno tam być \(\displaystyle{ a}\) zamiast \(\displaystyle{ x?}\)

Powinno.

Dodatkowo, skąd z tego
\(\displaystyle{ \exists j\in J, r \in R: j+ra=1}\)
wzięło się
\(\displaystyle{ (r+J)(a+J)=(1-u)J=1+J?}\)

Zamiast \(\displaystyle{ u}\) powinno być \(\displaystyle{ j}\), lub inaczej:

\(\displaystyle{ (r+J)(a+J) = ra+J = ra+j+J = 1+J}\).

[Jureczek123]

Dziękuję, wszystko teraz jasne.