Pokaż że \(\displaystyle{ P_{2}[x]}\): zbiór wielomianów stopnia najwyżej 2 jest przestrzenią liniową.
Oznacza to że muszę sprawdzić czy\(\displaystyle{ P_{2}[x] }\)spełnia 5 warunków:
Ukryta treść:
1.\(\displaystyle{ (V,+)}\) jest grupą abelową (łączne,przemienne, istnieją elementy neutralne,odwrotne)
2.\(\displaystyle{ \lambda(f_{1}+f_{2})=\lambda f_{1}+\lambda f_{2}}\)
3.\(\displaystyle{ V(\lambda_{1} +\lambda_{2})=\lambda_{1} V+\lambda_{2} V}\)
4.\(\displaystyle{ V(\lambda_{1} \lambda_{2})}\)
5. istnieje element neutralny mnożenia
PYTANIA
1.Tam gdzie pojawia się \(\displaystyle{ V}\) muszę jak rozumiem wstawić \(\displaystyle{ P_{2}[x]}\)?
2.Jak w języku matematyki jest zdefiniowany taki zbiór \(\displaystyle{ P_{2}[x]}\)?
Wydaje mi się że
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ P_{2}[x]=\left\{
\left[\begin{array}{c}x^{2}\\x\\1\end{array}\right] | x,a \in K
\right\} }\)
3. Umiem policzyć jedynie 2 podpunkt więc jak policzyć pozostałe?
1. Tak
2. Ten zbiór to zbiór wielomianów \(\displaystyle{ P_2[x]=\left\{ ax^2+bx+c: a,b,c\in P\right\} }\) gdzie \(\displaystyle{ P}\) to ciało prawdopodobnie w tym zadaniu domyślnie rozpatrujemy wielomiany nad ciałem liczb rzeczywistych czyli \(\displaystyle{ P=\RR}\)
3. Nie rozumiem zapisu podpunktu 3 oraz 4 więc nie pomogę. Domyślam się jedynie, że może chodzi o zamkniętość \(\displaystyle{ P_2[x]}\) ze względu na dodawanie i mnożenie przez skalar. Wtedy do pokazania jest, że suma dwóch wielomianów stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ 2}\) jest wielomianem stopnia nie więcej niż \(\displaystyle{ 2}\) oraz, że mnożenie przez skalar wielomianu st. nie większego niż \(\displaystyle{ 2}\) da wielomian st. nie większego niż \(\displaystyle{ 2}\).
