Uogólniona łączność.

[Bran]

Niech \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots, a_n \in \RR}\)

Jeżeli chciałbym teraz to pogrupować w dowolny sposób, na przykład porozstawiać nawiasy tak, żeby grupy miały \(\displaystyle{ 2,3,5,7,11,13,17,19,\ldots, p}\) wyrazów, to jak mógłbym to matematycznie opisać? Tak żeby było poprawnie matematycznie, zgrabnie i jasno zarazem?

Oczywiście przykład, to tylko przykład - mi chodzi o łączenie w dowolne grupy.

[matmatmm]

Mam pewną propozycję, ale jest ona dość karkołomna w wykonaniu. Zacznę od przykładu:

Powiedzmy, że mamy \(\displaystyle{ 6}\) liczb \(\displaystyle{ a_1,\ldots,a_6}\) i nawiasy chcemy rozstawić w następujący sposób:

\(\displaystyle{ (a_1 + a_2) +( ( ( a_3 + a_4 ) + a_5 ) + a_6 )}\)

Robimy to tak: Wybieramy permutację \(\displaystyle{ \sigma}\) zbioru \(\displaystyle{ A_{5}=\{1,2,3,4,5\}}\) (bierzemy zbiór \(\displaystyle{ 5}\)-elementowy dlatego, że mamy \(\displaystyle{ 5}\) działań w naszym wyrażeniu). Każdej takiej permutacji będzie odpowiadał pewien rozstaw nawiasów. W naszym przykładzie wziąłem permutację

\(\displaystyle{ \sigma=(3, 1, 4, 5, 2)}\)

Teraz stawiamy kolejno nawiasy wokół odpowiedniego działania w kolejności zgodnej z wartościami funkcji \(\displaystyle{ \sigma}\):

\(\displaystyle{ a_1+a_2+(a_3+a_4)+a_5+a_6}\)
\(\displaystyle{ (a_1+a_2)+(a_3+a_4)+a_5+a_6}\)
\(\displaystyle{ (a_1+a_2)+((a_3+a_4)+a_5)+a_6}\)
\(\displaystyle{ (a_1+a_2)+(((a_3+a_4)+a_5)+a_6)}\)

czyli licząc od lewej najpierw wokół 3-go działania, potem wokół 1-szego itd.

A tutaj opis formalny:

Ukryta treść:    

Załóżmy, że \(\displaystyle{ n\in\NN}\), dana jest permutacja \(\displaystyle{ \sigma}\) zbioru \(\displaystyle{ A_{n-1}=\{1,\ldots,n-1\}}\) oraz ciąg skończony długości \(\displaystyle{ n}\) : \(\displaystyle{ (a_k)_{k\leq n}}\).

Po pierwsze określamy ciąg permutacji \(\displaystyle{ (\sigma^0,\ldots,\sigma^{n-1})}\), gdzie \(\displaystyle{ \sigma^i}\) jest permutacją zbioru \(\displaystyle{ A_{n-1-i}}\). Robimy to indukcyjnie:

\(\displaystyle{ \sigma^{0}:=\sigma}\)
\(\displaystyle{ \sigma^{i+1}(k):=\begin{cases}\sigma^i(k+1) & , \sigma^i(1)>\sigma^i(k+1)\\ \sigma^i(k+1)-1 & , \sigma^i(1)<\sigma^i(k+1)\end{cases}}\) dla \(\displaystyle{ k\in\{1,\ldots,n-i-2\}}\).

Następnie określamy dla każdego \(\displaystyle{ i\in\{0,n-1\}}\) ciąg skończony (długości \(\displaystyle{ n-i}\)) \(\displaystyle{ (a^i_k)_{k\leq n-i}}\). Robimy to indukcyjnie:

\(\displaystyle{ (a^0_k):=(a_k)}\)
\(\displaystyle{ a_k^{i+1}:=\begin{cases}a_k^i & , k<\sigma^i(1) \\ a_k^i + a_{k+1}^i & , k=\sigma^i(1) \\ a_{k+1}^i & , k>\sigma^i(1)\end{cases}}\) dla \(\displaystyle{ k\in\{1,\ldots,n-i-1\}}\).

Ostatecznie szukaną wartością jest \(\displaystyle{ a_{1}^{n-1}}\).