Aksjomaty, łączność

[abcedf]

Dzień dobry!

Mam pytanie w jaki sposób z łączności definiowanej jako

\(\displaystyle{ \forall_{a, b, c} ~a*b*c=(a*b) *c=a*(b*c) }\)

Wynika np. \(\displaystyle{ a*(b*c*a) *a*b*c*(c*d) =(a*b*c*a)*a*b*(c*c)*d}\)
Można to jakoś latwo pokazać? Chodzi mi bardziej o to jak uogólnić łączność na więcej niż 3 elementy.


Druga sprawa, to jak udowodnić, że \(\displaystyle{ a*b:c:d=a*b*\frac{1}{c}*\frac{1}{d}}\)
Inaczej mówiąc jak pokazać, że
\(\displaystyle{ a*b:c:d=a*(b:c):d}\)
?
Wiem, że \(\displaystyle{ a:b=a*\frac{1}{b}}\)
Ale tutaj znowu mamy dzialanie na dwóch argumentach, więc aby zrobić to w \(\displaystyle{ a*b:c:d=a*b*\frac{1}{c}*\frac{1}{d}}\) musiałbym wiedzieć na jakiej podstawie mogę wstawić nawias w: \(\displaystyle{ a*b:c:d=a*(b:c):d}\).

Proszę o wyjaśnienie, na zajęciach bawimy sie aksjomatami i tego typu rzeczami nad którymi nigdy sie nie zastanawialem, a teraz zacząłem i potrzebuje pomocy w dobrym zrozumieniu tematu.

Jeśli wybrałem zły dział, proszę o przeniesienie tematu.

[Jan Kraszewski]

Mam pytanie w jaki sposób z łączności definiowanej jako

\(\displaystyle{ \forall_{a, b, c} ~a*b*c=(a*b) *c=a*(b*c) }\)

To nie jest definicja łączności. Definicja łączności działania dwuargumentowego to

\(\displaystyle{ \forall_{a, b, c} ~(a*b) *c=a*(b*c). }\)

Możliwość użycia zapisu \(\displaystyle{ a*b*c}\) jest wnioskiem z łączności.

Przede wszystkim nie jest jednak jasne, czym jest \(\displaystyle{ *}\). Chodzi Ci o mnożenie liczb rzeczywistych (jeśli tak, to używaj standardowego oznaczenia \(\displaystyle{ \cdot}\) \cdot)? Czy o dowolne działanie dwuargumentowe w zadanym zbiorze? Dobrze to sprecyzować.

Chodzi mi bardziej o to jak uogólnić łączność na więcej niż 3 elementy.

Indukcyjnie.

JK

[abcedf]

Tak, chodziło mi o zwykle mnożenie w zbiorze liczb rzeczywistych, w przyszłości użyje odpowiedniego znaku.
Czy mógłby się Pan jeszcze odnieść do drugiego problemu?

[Jan Kraszewski]

jak udowodnić, że \(\displaystyle{ a*b:c:d=a*b*\frac{1}{c}*\frac{1}{d}}\)
Inaczej mówiąc jak pokazać, że
\(\displaystyle{ a*b:c:d=a*(b:c):d}\)

Z formalnego punktu widzenia zapis \(\displaystyle{ a\cdot b:c:d}\) jest niepoprawny, bo niejednoznaczny.To, że interpretujemy go zazwyczaj jako \(\displaystyle{ ((a\cdot b):c):d}\) wynika wyłącznie z konwencji "działania mnożenia i dzielenia wykonujemy od lewej do prawej", która jest jednak tylko konwencją, czyli umową, która nie musi być wiążąca. W zasadzie nic nie stoi na przeszkodzie, by zapis \(\displaystyle{ a\cdot b:c:d}\) zinterpretować jako \(\displaystyle{ a\cdot (b:(c:d))}\), a wówczas wynik będzie zgoła inny.

I właśnie dlatego Twoje pytanie jest dla mnie źle postawione, bo formalnie nie masz żadnych podstaw, by w wyrażeniu \(\displaystyle{ a\cdot b:c:d}\) nawiasy postawić w ten czy inny sposób.

JK