Wskazać element neutralny działania

[mathxc]

W zbiorze \(\displaystyle{ \RR \times \RR}\) dane jest działanie \(\displaystyle{ *}\) takie, że \(\displaystyle{ (x_1,y_1)*(x_2,y_2)=(x_1x_2,y_1+y_2)}\).
Wskazać element neutralny działania \(\displaystyle{ *}\). Które elementy \(\displaystyle{ (x,y)}\) zbioru \(\displaystyle{ \RR \times \RR}\) są odwracalne ze
względu na działanie \(\displaystyle{ *}\)? Czy działanie \(\displaystyle{ *}\) jest łączne?
1)
Element neutralny:
\(\displaystyle{ (x_1,y_1)*e=e*(x_1,y_1)=(x_1,y_1)\Rightarrow e=(1,0)?}\)
2)
Element odwrotny:
\(\displaystyle{ (x_1,y_1)*(x',y')=(x',y')*(x_1,y_1) = e\\(x_1,y_1)*(x',y')=\begin{cases}x_1\cdot x'=1\Rightarrow x'=x_1^{-1}\\y_1+y'=0\Rightarrow y'=-y_1\end{cases}\Rightarrow(x_1,y_1)*(x_1^{-1},-y_1)=e}\)
Odwracalne są elementy należące do \(\displaystyle{ \RR\setminus\left\{ 0\right\} }\)?
3)
Łączność:
\(\displaystyle{ (x_1,y_1)*((x_2,y_2)*(x_3,y_3))=((x_1,y_1)*(x_2,y_2))*(x_3,y_3)\\L=(x_1,y_1)*((x_2,y_2)*(x_3,y_3))=(x_1,y_1)*(x_2x_3,y_2+y_3)=(x_1x_2x_3,y_1+y_2+y_3)\\P=((x_1,y_1)*(x_2,y_2))*(x_3,y_3)=(x_1x_2,y_1+y_2)*(x_3,y_3)=(x_1x_2x_3,y_1+y_2+y_3)\\ L=P}\)
Działanie \(\displaystyle{ *}\) jest łączne.
Czy mógłby ktoś sprawdzić poprawność?

[Premislav]

Przyczepię się do sformułowania z 2.

Odwracalne są elementy należące do \(\displaystyle{ \RR\setminus \left\{0\right\}}\)?

No nie, elementy odwracalne mają być elementami \(\displaystyle{ \RR\times \RR}\), a \(\displaystyle{ \left(\RR\setminus \left\{0\right\}\right)\cap \RR\times \RR=\varnothing}\). Ale przekształcenia poprawne, może to tylko złe sformułowanie, zbiór elementów odwracalnych to
\(\displaystyle{ \left\{(x,y)\in \RR\times \RR: x\neq 0\right\}}\). Reszta bez zarzutu.

[a4karo]

Ja może tylko dodam, że element neutralny został odgadniety, a nie wyliczony