uprościć wyrażenie

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
yaress
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

uprościć wyrażenie

Post autor: yaress » 9 wrz 2019, o 21:14

Cześć
Mam grupę a) nieabelową, b) abelową \(\displaystyle{ (G,\circ)}\) gdzie \(\displaystyle{ e\in G}\) jest elementem neutralnym, a \(\displaystyle{ g,h\in G}\) są odwracalne. I mam uprościć wyrażenie \(\displaystyle{ g\circ h^{-1}\circ e^2\circ h^2\circ g^{-1}\circ e^{-1}\circ g^3\circ h}\). Jak mam do tego się zabrać?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25966
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4349 razy

Re: uprościć wyrażenie

Post autor: Jan Kraszewski » 9 wrz 2019, o 21:20

Ja bym zaczął od zrozumienia, czym jest element neutralny.

JK

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 248
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 34 razy
Pomógł: 43 razy

Re: uprościć wyrażenie

Post autor: Gosda » 10 wrz 2019, o 06:06

Założenie o tym, że \(\displaystyle{ g, h}\) są odwracalne jest bez sensu. W każdej grupie każdy element jest odwracalny.

yaress
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

Re: uprościć wyrażenie

Post autor: yaress » 10 wrz 2019, o 21:06

Gosda pisze:
10 wrz 2019, o 06:06
Założenie o tym, że \(\displaystyle{ g, h}\) są odwracalne jest bez sensu. W każdej grupie każdy element jest odwracalny.
W porządku, tylko bardziej zastanawia mnie jak uprościć to wyrażenie w kontekście tego, że grupa ma lub nie ma być przemienna.
Jan Kraszewski pisze:
9 wrz 2019, o 21:20
Ja bym zaczął od zrozumienia, czym jest element neutralny.
Zgodnie z definicją: \(\displaystyle{ \forall _{{a\in S}}\;e∘g=g∘e=a}\)
Rozumiem też, że jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest również elementem neutralnym obustronnym (to pewnie gdzieś będzie do wykorzystania przy tej grupie abelowej/nieabelowej).
Z własności elementu neutralnego wynika (chyba :)), że \(\displaystyle{ e = e^{2} = e^{-1}}\)

I teraz: \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘e^2∘h^2∘g^{−1}∘e^{−1}∘g^3∘h}\) upraszczając \(\displaystyle{ e}\) mam \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘e∘h^2∘g^{−1}∘g^3∘h}\)

Czy dalej mogę skorzystać z własności elementu odwrotnego: \(\displaystyle{ g = h^{−1}}\) oraz \(\displaystyle{ g^{−1} = h}\) ?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25966
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4349 razy

Re: uprościć wyrażenie

Post autor: Jan Kraszewski » 10 wrz 2019, o 21:16

yaress pisze:
10 wrz 2019, o 21:06
W porządku, tylko bardziej zastanawia mnie jak uprościć to wyrażenie w kontekście tego, że grupa ma lub nie ma być przemienna.
Najpierw robisz dla nieprzemiennej, a potem to co otrzymasz dalej przekształcasz korzystając z przemienności.
yaress pisze:
10 wrz 2019, o 21:06
Zgodnie z definicją: \(\displaystyle{ \forall _{\color{red}{a}\in S}\;e∘g=g∘e=\color{red}{a}}\)
No to jest akurat bardzo nieprawda.
yaress pisze:
10 wrz 2019, o 21:06
Rozumiem też, że jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest również elementem neutralnym obustronnym (to pewnie gdzieś będzie do wykorzystania przy tej grupie abelowej/nieabelowej).
:?:
Element neutralny to element neutralny. W grupie nie ma czegoś takiego, jak "jednostronny element neutralny".
yaress pisze:
10 wrz 2019, o 21:06
I teraz: \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘e^2∘h^2∘g^{−1}∘e^{−1}∘g^3∘h}\) upraszczając \(\displaystyle{ e}\) mam \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘e∘h^2∘g^{−1}∘g^3∘h}\)
To jeszcze dalej można uprościć korzystając z własności elementu nautralnego oraz z własności elementu odwrotnego.
yaress pisze:
10 wrz 2019, o 21:06
Czy dalej mogę skorzystać z własności elementu odwrotnego: \(\displaystyle{ g = h^{−1}}\) oraz \(\displaystyle{ g^{−1} = h}\) ?
A skąd Ty to wytrzasnąłeś?! No chyba, że w pierwszym poście źle przepisałeś treść i elementy \(g\) i \(h\) miały być do siebie odwrotne (ale wtedy zadanie jest mało sensowne). Ale to co napisałeś to zdecydowanie nie jest własność elementu odwrotnego.

JK

yaress
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

Re: uprościć wyrażenie

Post autor: yaress » 10 wrz 2019, o 22:37

yaress pisze:
10 wrz 2019, o 21:06
Zgodnie z definicją: \(\displaystyle{ \forall _{\color{red}{g}\in S}\;e∘g=g∘e=\color{red}{g}}\)
No to jest akurat bardzo nieprawda.
Przepraszam już poprawione. Późno jest :)
Element neutralny to element neutralny. W grupie nie ma czegoś takiego, jak "jednostronny element neutralny".
https://pl.wikipedia.org/wiki/Element_neutralny

yaress
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

Re: uprościć wyrażenie

Post autor: yaress » 10 wrz 2019, o 22:37

yaress pisze:
10 wrz 2019, o 21:06
Czy dalej mogę skorzystać z własności elementu odwrotnego: \(\displaystyle{ g = h^{−1}}\) oraz \(\displaystyle{ g^{−1} = h}\) ?
A skąd Ty to wytrzasnąłeś?!
http://eigenspace.pl/herdegen_algebra.pdf
Strona 28 przed Twierdzeniem 5

yaress
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

Re: uprościć wyrażenie

Post autor: yaress » 10 wrz 2019, o 22:44

Wracając \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘e∘h^2∘g^{−1}∘g^3∘h}\) to mogę uprościć korzystając z własności potęgowania? Wyjdzie mi ostatecznie \(\displaystyle{ e∘g^3∘h^2}\) ?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25966
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4349 razy

Re: uprościć wyrażenie

Post autor: Jan Kraszewski » 10 wrz 2019, o 23:06

yaress pisze:
10 wrz 2019, o 22:37
Element neutralny to element neutralny. W grupie nie ma czegoś takiego, jak "jednostronny element neutralny".
https://pl.wikipedia.org/wiki/Element_neutralny
Ale o czym ma świadczyć ten link? Powtarzam: w grupie nie ma czegoś takiego, jak "jednostronny element neutralny".

W ten sposób nie nauczysz się matematyki, doczytując trochę to tu, tu tam.
yaress pisze:
10 wrz 2019, o 22:37
http://eigenspace.pl/herdegen_algebra.pdf
Strona 28 przed Twierdzeniem 5
I znów to samo. Coś znalazłeś, przeczytałeś i starasz się to używać. Uwaga, którą przytaczasz, nie ma nic wspólnego z tym zadaniem (przynajmniej w sformułowanej przez Ciebie w pierwszym poście wersji). To, że i w Twoim zadaniu i w tej uwadze są literki \(g\) i \(h\) nie znaczy jeszcze, że w obu tych miejscach znaczą to samo.
yaress pisze:
10 wrz 2019, o 22:44
Wracając \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘e∘h^2∘g^{−1}∘g^3∘h}\) to mogę uprościć korzystając z własności potęgowania? Wyjdzie mi ostatecznie \(\displaystyle{ e∘g^3∘h^2}\) ?
Ale w której grupie: abelowej czy nieabelowej? No i to dalej nie jest najprostsza postać. Poza tym niepokój budzi stwierdzenie "korzystając z własności potęgowania".

JK

yaress
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

Re: uprościć wyrażenie

Post autor: yaress » 10 wrz 2019, o 23:40

W ten sposób nie nauczysz się matematyki, doczytując trochę to tu, tu tam.
Staram się jak mogę :) korzystając z różnych źródeł.
Ale w której grupie: abelowej czy nieabelowej
Nieabelowej
Poza tym niepokój budzi stwierdzenie "korzystając z własności potęgowania".
U mnie nie :D Ogólnie chodziło mi o to: \(\displaystyle{ a^{m}a^{n}=a^{m+n}}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25966
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4349 razy

Re: uprościć wyrażenie

Post autor: Jan Kraszewski » 11 wrz 2019, o 00:55

yaress pisze:
10 wrz 2019, o 23:40
Staram się jak mogę :) korzystając z różnych źródeł.
No ale efekt jest taki, że wszystko Ci się miesza, a Twoje wyniki wskazują, że niestety nie rozumiesz pojęć, którymi operujesz. Oczywiście, i bez zrozumienia można porachować różne rzeczy, ale jak dla mnie to nie najlepsza strategia.
yaress pisze:
10 wrz 2019, o 23:40
Nieabelowej
No to źle.
yaress pisze:
10 wrz 2019, o 23:40
Poza tym niepokój budzi stwierdzenie "korzystając z własności potęgowania".
U mnie nie :D Ogólnie chodziło mi o to: \(\displaystyle{ a^{m}a^{n}=a^{m+n}}\)
Po pierwsze, nie jest jasne, czym są \(m,n\). Jeśli liczbami naturalnymi, to jest to niewystarczające. Kluczowe jest skorzystanie z własności elementu odwrotnego, ale nie tak, jak próbujesz to robić. Pomijając już fakt, że tę "własność potęgowania" też się dowodzi...

JK

yaress
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

Re: uprościć wyrażenie

Post autor: yaress » 12 wrz 2019, o 19:49

Jeszcze raz od początku.
Korzystając z tego, że w grupie działanie ma element neutralny: \(\displaystyle{ \exists_{e\in G} \ \forall_{x\in G} \ e ∘ x = x ∘ e = x}\) oraz z faktu, że grupie G istnieje dokładnie jeden element neutralny mogę zapisać, że: \(\displaystyle{ e=e^2=e^{−1}}\)
W związku z tym mogę uprościć wyrażenie \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘e^2∘h^2∘g^{−1}∘e^{−1}∘g^3∘h}\) do postaci \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘h^2∘g^{−1}∘g^3∘h}\)
Dalej dla korzystamy z własności gdzie dla dowolnej grupy \(G, x∈G\) i \(m,n∈\mathbb Z\) mamy \(x^{m+n}=x^mx^n\) i po uproszczeniu mamy:
\(\displaystyle{ g∘h∘g^{2}∘h.}\)
W przypadku grupy abelowej, korzystając z przemienności mogę to uprościć jeszcze do postaci \(\displaystyle{ g^3∘h^2.}\)

Czy teraz jest w porządku?

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 248
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 34 razy
Pomógł: 43 razy

Re: uprościć wyrażenie

Post autor: Gosda » 12 wrz 2019, o 22:12

W skrócie, tak.

(Dla grup nieprzemiennych zazwyczaj pomija się znak działania, dla grup przemiennych: pisze zamiast niego plus, ale możesz zignorować tę informację teraz).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25966
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4349 razy

Re: uprościć wyrażenie

Post autor: Jan Kraszewski » 12 wrz 2019, o 22:18

yaress pisze:
12 wrz 2019, o 19:49
W związku z tym mogę uprościć wyrażenie \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘e^2∘h^2∘g^{−1}∘e^{−1}∘g^3∘h}\) do postaci \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘h^2∘g^{−1}∘g^3∘h}\)
Dalej dla korzystamy z własności gdzie dla dowolnej grupy \(G, x∈G\) i \(m,n∈\mathbb Z\) mamy \(x^{m+n}=x^mx^n\) i po uproszczeniu mamy:
\(\displaystyle{ g∘h∘g^{2}∘h.}\)
Ja jednak wrócę do tego, że fakt "dla dowolnej grupy \(G, x∈G\) i \(m,n∈\mathbb Z\) mamy \(x^{m+n}=x^mx^n\)" wymaga dowodu. Dużo prościej jest skorzystać z definicji elementu odwrotnego:
\[g∘h^{−1}∘h^2∘g^{−1}∘g^3∘h=g∘h^{−1}∘h∘h∘g^{−1}∘g∘g^2∘h=g∘e∘h∘e∘g^2∘h=g∘h∘g^{2}∘h.\]
JK

yaress
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

Re: uprościć wyrażenie

Post autor: yaress » 12 wrz 2019, o 22:42

Rzeczywiście wygląda prościej :) a ja za bardzo kombinowałem. Dziękuję za cenne wskazówki

ODPOWIEDZ