Pierścienie przemienne z jedynką

[strefa61]

Cześć,
czy może się zdarzyć, że w pierścieniu przemiennym z jedynką, jedynka jest równa zeru? Czyli, czy może być tak, że element neutralny dodawania jest równy elementowi neutralnemu mnożenia?

[a4karo]

Wsk: dla każdego \(\displaystyle{ a}\) mamy \(\displaystyle{ a=a\cdot 1}\)

[strefa61]

To będzie działało tylko w zbiorze jednoelementowym?

[matmatmm]

Nie wiem co masz dokładnie na myśli, ale jeśli pierścień jest jednoelementowy, to istotnie \(\displaystyle{ 1=0}\).

Natomiast pod założeniem, że pierścień jest co najmniej dwuelementowy, mamy istnienie elementu \(\displaystyle{ a\neq 0}\). Wówczas przypuszczając nie wprost \(\displaystyle{ 1=0 }\), dostajemy

\(\displaystyle{ a=a\cdot 1=a\cdot 0=0}\)

czyli sprzeczność.