Najmniejszy ideał

[Thingoln]

Witajcie.
Mam przed sobą zadanie ze zbioru pana A. Neugebauera:

Dane są dowolne liczby całkowite \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\). Udowodnić, że zbiór
\(\displaystyle{ (a_1, a_2, ..., a_n) := \lbrace a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n : x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb{Z} \rbrace}\)
jest najmniejszym ideałem zawierającym liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\).

Nie rozumiem, co dokładnie znaczy słowo najmniejszy w treści zadania. To, że zbiór ma najmniejszą możliwą ilość elementów? Zastanawiałem się nad tym w ten sposób, ale nie wpadłem na żaden pomysł. Macie może jakieś wskazówki?

Wrzucę też dowód tego, że ten zbiór jest ideałem, może ktoś wyłapie błędy:
Niech \(\displaystyle{ I = (a_1, a_2, ..., a_n) = \lbrace a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n : x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb{Z} \rbrace \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow I \subseteq Z}\)

Niech \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) będą dowolnymi liczbami z tego zbioru, wtedy:
\(\displaystyle{ b = a_1x_{b1} + a_2x_{b2} + ... + a_nx_{bn}}\)
\(\displaystyle{ c = a_1x_{c1} + a_2x_{c2} + ... + a_nx_{cn}}\)

Wówczas:
\(\displaystyle{ b + c = a_1(x_{b1} + x_{c1}) + a_2(x_{b2} + x_{c2}) + ... + a_n(x_{bn} + x_{cn})}\)

\(\displaystyle{ (x_{b1} + x_{c1}), (x_{b2} + x_{c2}), ..., (x_{bn} + x_{cn}) \in \mathbb{Z} \Rightarrow b+c \in I}\)

Również dla dowolnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ kc = a_1 \cdot kx_{c1} + a_2 \cdot kx_{c2} + ... + a_n \cdot kx_{cn}}\),

\(\displaystyle{ kx_{c1}, kx_{c2}, ..., kx_{cn} \in \mathbb{Z}}\)

A stąd: \(\displaystyle{ \forall_{k \in \mathbb{Z}} \ kc \in I}\)

W szczególności: \(\displaystyle{ \exists_{x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb{Z}} \ a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = 0}\)

Zbiór \(\displaystyle{ I}\) jest więc ideałem.

[Premislav]

Oj, z liczbą elementów to ostrożnie, bo przeważnie ten zbiór będzie nieskończony. Chodzi o najmniejszy w sensie zawierania ideał, czyli jeśli \(\displaystyle{ J}\) jest dowolnym ideałem w \(\displaystyle{ \ZZ}\), do którego należą \(\displaystyle{ a_1, \ldots a_n}\), to \(\displaystyle{ I\subset J}\).-- 29 lip 2019, o 15:43 --Z tego, co napisałeś, już bezpośrednio wynika, że jest to ideał w \(\displaystyle{ \ZZ}\), ale formalnie nie sprawdziłeś, że \(\displaystyle{ I}\) (z dodawaniem) jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ (\ZZ,+)}\).
Ale może to kwestia definicji ideału, jaką operujesz, bowiem akurat w \(\displaystyle{ \ZZ}\) z tego, że
\(\displaystyle{ (\forall a,b\in I)(a+b\in I)}\) oraz \(\displaystyle{ (\forall k\in \ZZ)(\forall a\in I)(ka\in I)}\)
wynika, że \(\displaystyle{ I}\) jest ideałem w \(\displaystyle{ \ZZ}\).

[Thingoln]

Wymyśliłem coś takiego:

Niech \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n \in J}\), gdzie zbiór \(\displaystyle{ J}\) jest ideałem w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\).
Wówczas:
\(\displaystyle{ \forall_{e \in J} \forall_{k \in \mathbb{Z}} \ ke \in J \ \wedge \ \forall_{e, f \in J} \ e + f \in J}\) (czy \(\displaystyle{ _{e \in J, \ k \in \mathbb{Z}}}\) mogą być w ogóle zapisane jednym kwantyfikatorem?)

Jeśli \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n \in J}\), to z powyższych zależności wynika, że także wszystkie kombinacje liniowe tych liczb należą do \(\displaystyle{ J}\). Z tego zaś wynika, że
\(\displaystyle{ \forall_{c \in I} \ c \in J \Rightarrow I \subseteq J}\), gdyż zbiór \(\displaystyle{ I}\) jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych liczb \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\). Dlatego zbiór \(\displaystyle{ I}\) jest najmniejszym ideałem zawierającym te liczby. CNW

Czy jest to poprawne rozwiązanie?

[Premislav]

Jeśli \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n \in J}\), to z powyższych zależności wynika, że także wszystkie kombinacje liniowe tych liczb należą do \(\displaystyle{ J}\)

To jest w sposób oczywisty prawdą, ale przy tak prostym zadaniu spodziewałbym się uzasadnienia tego wprost. No ale to już moja opinia…

[Thingoln]

\(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n \in J \ \ (1)}\)
\(\displaystyle{ \forall_{e \in J} \forall_{k \in \mathbb{Z}} \ ke \in J \ \ (2)}\)
\(\displaystyle{ \forall_{e, f \in J} \ e + f \in J \ \ (3)}\)

Na mocy (1) i (2):
\(\displaystyle{ \forall_{k \in \mathbb{Z}} \forall_{i \in \mathbb{N^+}} \ ka_i \in J}\), gdzie \(\displaystyle{ i \le n}\)

Teza: \(\displaystyle{ \forall_{h_1, h_2, ..., h_n \in J} \forall_{k_1, k_2, ..., k_n \in \mathbb{Z}} (\sum_{i=1}^n k_ih_i) \in J}\), gdzie \(\displaystyle{ n \ge 2}\) (przypadek dla \(\displaystyle{ n = 1}\) jest oczywisty)

Udowodnimy tę tezę dzięki zasadzie indukcji matematycznej.
Krok indukcyjny dla \(\displaystyle{ n = 2}\):
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^2 k_ih_i = k_1h_1 + k_2h_2}\). Na mocy (2) i (3) suma ta należy do \(\displaystyle{ J}\).

Załóżmy, że teza jest spełniona dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N^+}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \ge 2 \ \ (A)}\).
Wówczas udowadniając, że jest ona spełniona również dla \(\displaystyle{ n+1}\), wykażemy jej prawdziwość.

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} k_ih_i = k_{n+1}h_{n+1} + \sum_{i=1}^n k_ih_i}\)

Na podstawie założenia (A) mamy, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n k_ih_i \in J}\), więc na mocy (2) i (3) również:
\(\displaystyle{ ( k_{n+1}h_{n+1} + \sum_{i=1}^n k_ih_i ) \in J}\).

Wynika z tego, że \(\displaystyle{ \forall_{h_1, h_2, ..., h_n \in J} \forall_{k_1, k_2, ..., k_n \in \mathbb{Z}} (\sum_{i=1}^n k_ih_i) \in J}\).

Z tego mamy, że:
\(\displaystyle{ \forall_{n \in \mathbb{N^+}} \forall_{k_1, k_2, ..., k_n \in \mathbb{Z}} (\sum_{i=1}^n k_ia_i) \in J}\), gdyż na podstawie (1) \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n \in J}\),
a suma ta jest równa:
\(\displaystyle{ a_1k_1 + a_2k_2 + ... + a_nk_n}\).

Widzimy więc, że wszystkie kombinacje liniowe liczb \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\) należą do \(\displaystyle{ J}\). Ideał \(\displaystyle{ I}\) również generuje wszystkie ich kombinacje liniowe, które są jedynymi elementami tego zbioru, więc wynika z tego, że \(\displaystyle{ I \subseteq J}\).

Zgadzam się, że wypada to udowodnić i spróbowałem. Trochę przekombinowane pewnie, ale mam nadzieję, że dowód jest dobrze poprowadzony i że uniknąłem błędów. W każdym razie była to dobra zabawa.

[Premislav]

Dobrze. Spodziewałem się właśnie indukcji po \(\displaystyle{ n}\), to dość narzucający się sposób (bo jak mówimy, że to jest oczywiste, to w tym przypadku w praktyce w myślach przeprowadzamy indukcję).

[Thingoln]

Dziękuję za pomoc, przydała się

[a4karo]

Chyba niedobrze: teza indukcyjna powinna brzmieć
Jeżeli \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n)}\) jest najmniejszym ideałem zawierającym \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\), to
\(\displaystyle{ (a_1,...,a_n,a_{n+1})}\) jest najmniejszym ideałem zawierającym \(\displaystyle{ a_1,...,a_n,a_{n+1}}\). To są różne ideały, a Ty je nazywasz tak samo: \(\displaystyle{ J}\)

[Premislav]

Żaden z wymienionych ideałów nie został nazwany \(\displaystyle{ J}\).

[a4karo]

Faktycznie. W tym "dowodzie" wystepuje symbol \(\displaystyle{ J}\), ale nigdzie nie zdefiniowano co on oznacza. Pojawia się również symbol \(\displaystyle{ I}\) i tez nie wiadomo czym on jest. (Piszę tylko o poście Thingolna z 22:30.

[Thingoln]

Symbole \(\displaystyle{ I}\) oraz \(\displaystyle{ J}\) zdefiniowałem, jednak poprowadzenie zadania przy rozbiciu go na kilka wiadomości mogło wywołać takie nieścisłości.

Co do poprawy tezy – dziękuję za zwrócenie uwagi, postaram się uważać na przyszłość.