homomorfizm grupy G

[aneta909811]

Dana jest grupa \(\displaystyle{ \left(G, \cdot \right)}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ C\left( g\right)=\left\{ x \in G: gx=xg\right\}}\) jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ G}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ C\left( \left( 12\right) \right)}\) w \(\displaystyle{ S_{3}}\)

Dla każdego \(\displaystyle{ g}\) w grupie \(\displaystyle{ G}\) definiujemy funkcję \(\displaystyle{ \phi_{g} : \quad G \rightarrow G, \phi_{g}\left( x\right)=gx}\). Udowodnij, że odwzorowanie \(\displaystyle{ \Phi : G \rightarrow S\left( G\right), \Phi \left( g\right)= \phi_{g}}\) jest homomorfizmem grupy \(\displaystyle{ G}\) w grupę permutacji zbioru G. Wyznaczyć \(\displaystyle{ Ker\left( \Phi \right)}\).

[Kordyt]

A może jakieś próby samodzielnego rozwiązania ?
Zadanie 1 jest dość trywialne. Jak definiujemy podgrupę grupy \(\displaystyle{ G}\) ?

[aneta909811]

Pierwszą część zrobiłam z definicji.
Nie wiem jak ruszyć drugą cześć...

[Dasio11]

Też z definicji.

\(\displaystyle{ \Phi(g \cdot h)(x) = \ldots = (\Phi(g) \circ \Phi(h))(x)}\)

\(\displaystyle{ g \in \mathrm{ker} \, \Phi \iff \ldots}\)