Liczba elementów rzędu n w grupie cyklicznej rzędu 100!

[dondomano]

Witam. Nie mogę znaleźć żadnego szybkiego sposobu na rozwiązanie tego zadania. Na przykład mamy podać liczbę elementów rzędu \(\displaystyle{ 60}\) w grupie cyklicznej rzędu \(\displaystyle{ 100!}\). Trochę bezsensowne wydaje mi się sprawdzanie każdego niższego rzędu, będącego dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ 60}\). Czy ktoś widzi tu jakiś prostszy sposób? Z góry dziękuję!

[Premislav]

Funkcja Eulera lub zasada włączeń i wyłączeń, w każdym razie masz policzyć, ile jest takich \(\displaystyle{ k\in\left\{ 0,1\ldots 100!-1\right\}}\), że \(\displaystyle{ 60k}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 100!}\) i konkretniej \(\displaystyle{ 60=\min\left\{ n\in \NN^+: 100! |nk\right\}}\).

Jak ja dostałem takie jakieś podobne zadanie, to w ogóle liczyłem jakąś ultra pałą: najpierw z Legendre'a z jakim wykładnikiem dwójka, trójka i piątka wchodzą do rozkładu \(\displaystyle{ 100!}\) na czynniki pierwsze i w ogóle beka z typa. xD No ale nie każdy jest inteligentny, ja nie.