Udowodnij że grupa jest przemienna

[Milo_17]

Niech \(\displaystyle{ \alpha : G \rightarrow G}\) będzie automorfizmem grupy \(\displaystyle{ (G, \cdot )}\) t. że \(\displaystyle{ \alpha \circ \alpha = id}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha (a)=a \Rightarrow a=e}\). Wiedząc, że \(\displaystyle{ G=\left\{ \alpha (a) \cdot
a^{-1} : a \in G \right\}}\) pokazać, że \(\displaystyle{ (G, \cdot )}\) jest przemienna.

Czy mogę prosić o jakąś wskazówkę do tego zadania?

[Dasio11]

Spróbuj wykazać, że \(\displaystyle{ \alpha(x) = x^{-1}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in G}\).

[Milo_17]

\(\displaystyle{ x= \alpha (y) \cdot y^{-1} \Rightarrow \alpha (x) = \alpha (\alpha (y) ) \cdot \alpha (y^{-1}) \Leftrightarrow \alpha (x) = y \cdot \alpha (y)^{-1}=x^{-1}}\)

\(\displaystyle{ \alpha (ab) = b^{-1} \cdot a^{-1} \Rightarrow ab=\alpha (b^{-1} \cdot a^{-1})=\alpha (b^{-1}) \cdot \alpha (a^{-1})=ba}\)

Dzięki za wskazówke . Chyba wporzo jest?

[Dasio11]

Rozwiązanie jest poprawne, ale byłoby przejrzystsze, gdybyś napisał je prozą.