Czy grupa?

[mol_ksiazkowy]

Czy zbiór \(\displaystyle{ (0,1]}\) działaniem \(\displaystyle{ a \circ b = \frac{ab}{1+ (1-a)(1-b)}}\) jest grupą (półgrupą, monoidem) ?

[Premislav]

Elementem neutralnym działania \(\displaystyle{ \circ}\) jest \(\displaystyle{ 1}\), co łatwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem. Ponadto gdy \(\displaystyle{ a,b\in (0,1)}\), to przez wymnożenie i uproszczenie wyrazów podobnych mamy
\(\displaystyle{ \frac{ab}{1+ (1-a)(1-b)}<1 \Leftrightarrow a+b<2}\), co jest oczywiste, więc nie może istnieć element odwrotny do żadnego \(\displaystyle{ a\in(0,1)}\) (dla ustalenia uwagi weźmy np. \(\displaystyle{ a=\frac 1 2}\) jako kontrprzykład).
Zatem grupą to nie jest, pozostaje sprawdzenie łączności działania \(\displaystyle{ \circ}\).

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ a,b,c\in (0,1]}\). Mamy
\(\displaystyle{ (a\circ b)\circ c= \frac{ \frac{ab}{1+ (1-a)(1-b)}\cdot c}{1+\left( 1-\frac{ab}{1+ (1-a)(1-b)}\right) \left( 1-c\right) }= \frac{abc}{1+(1-a)(1-b)+(2-a-b)(1-c)}}\)
oraz
\(\displaystyle{ a\circ (b\circ c)= \frac{a\cdot \frac{bc}{1+(1-b)(1-c)} }{1+(1-a)\left( 1- \frac{bc}{1+(1-b)(1-c)} \right) }= \frac{abc}{1+(1-b)(1-c)+(1-a)(2-b-c)}}\)
Pozostaje więc zweryfikować równość mianowników tych ułamków, bo liczniki są równe, czyli
\(\displaystyle{ {1+(1-a)(1-b)+(2-a-b)(1-c)=1+(1-b)(1-c)+(1-a)(2-b-c)}\)

Jest to prawda, gdyż po chwili refleksji widzimy, że po obu stronach jest
\(\displaystyle{ 1+(1-a)(1-b)+(1-b)(1-c)+(1-c)(1-a)}\),
toteż mamy łączność i element neutralny, tj. podana struktura jest monoidem, a więc i półgrupą, jak pisałem, grupą nie jest.

[Dasio11]

Ta struktura to tak naprawdę \(\displaystyle{ (\RR_+, +)}\) po przeniesieniu przez bijekcję \(\displaystyle{ \varphi : \RR_+ \to (0, 1]}\), \(\displaystyle{ \varphi(\alpha) = 1 - \tanh \alpha}\).

[arek1357]

I to jest właśnie to , ten przebłysk geniuszu...