Różne pytania

[Jan Kraszewski]

Odpowiedzią nie będzie ze jedynie w zbiorach o liczbie elementów \(\displaystyle{ p^{n}}\) można określić takie działania?

To zdanie wygląda... dziwnie - możesz je sformułować porządnie?

JK

[xyz111]

Jedynie w zbiorach mocny \(\displaystyle{ p ^{n}}\)gdzie \(\displaystyle{ p}\) liczba pierwsza a \(\displaystyle{ n}\) dowolna liczba naturalna, można określić działania mnożenia i dodawania tak, żeby powstało ciało

[Jan Kraszewski]

Teraz dobrze (poza tym, że liczba naturalna musi być dodatnia). Czyli odpowiedź jest negatywna.

Pozostaje kwestia, jak powinnaś to uzasadnić - czy wystarczy powołać się na twierdzenie, czy na przykład powinnaś pokazać, że

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/183462/can-you-construct-a-field-with-6-elements?noredirect=1&lq=1

.

JK

[xyz111]

Dziękuję, zrozumiałam ro wytłumaczenie z brakiem ciała 6elementowego. Czy gdyby pytanie było o pierścień a nie o ciało to odpowiedź byłaby tak? Tam już nie mamy tego ograniczenia z \(\displaystyle{ p^{n}}\)

[Jan Kraszewski]

Czy gdyby pytanie było o pierścień a nie o ciało to odpowiedź byłaby tak? Tam już nie mamy tego ograniczenia z \(\displaystyle{ p^{n}}\)

Byłaby tak w odniesieniu do zbiorów skończonych, bo każde \(\displaystyle{ \ZZ_n}\) jest pierścieniem.

Natomiast ja od ręki nie potrafię podać przykładu pierścienia mocy \(\displaystyle{ 2^{2^{2^{2^{\aleph_0}}}}...}\)

JK

[xyz111]

Więc jeśli ten zbiór jest nieskończony to nie da się? Tylko nie rozumiem dlaczego? A jeśli zbiór jest jednoelementowy to ten jeden element przyjmujemy jako el neutralny więc mamy pierścień?

[Jan Kraszewski]

Więc jeśli ten zbiór jest nieskończony to nie da się?

A czy ja napisałem, że się nie da? Nie znasz nieskończonych pierścieni? Ja tylko napisałem, że nie potrafię od ręki pokazać, że dla dowolnego zbioru nieskończonego da się. Choć w sumie górne tw. Löwenheima-Skolema powinno do tego wystarczyć.

JK

[xyz111]

Znam nieskończone pierścienie, nie znam i nie miałam nigdy podanego wspomnianego twierdzenia

[Jan Kraszewski]

Bo to twierdzenie z logiki matematycznej...

No ale czy istotnie takie pytanie dotyczące pierścieni pojawiło się?

JK

[xyz111]

Pytanie jest do samego rozwiązania. Jedyne twierdzenia jakie mieliśmy podane dotyczące pierścieni odnosiły się do ideałów maksymalnych i pierwszych

[Jan Kraszewski]

No to nie mam specjalnie pomysłu, jak z uzasadnieniem odpowiedzieć na pytanie o istnienie struktury pierścienia na dowolnym niepustym zbiorze.

JK

[Dasio11]

Jeśli \(\displaystyle{ \kappa}\) jest nieskończoną liczbą kardynalną, to \(\displaystyle{ \QQ \big( \left< x_{\alpha} : \alpha < \kappa \right> \big)}\) - zbiór funkcji wymiernych o współczynnikach wymiernych i zmiennych \(\displaystyle{ \left< x_{\alpha} : \alpha < \kappa \right>}\) - jest ciałem mocy \(\displaystyle{ \kappa}\).

Ograniczenie z dołu jest trywialne, a z góry: każda funkcja wymierna zależy tylko od skończenie wielu zmiennych. Dla ustalonego skończonego ciągu zmiennych \(\displaystyle{ \overline{x} = (x_{\alpha_1}, \ldots, x_{\alpha_n})}\) jest przeliczalnie wiele funkcji wymiernych zależnych tylko od \(\displaystyle{ \bar{x}}\), a takich ciągów jest \(\displaystyle{ \kappa}\), czyli razem \(\displaystyle{ \le \kappa}\).

Analogicznie \(\displaystyle{ \ZZ \big[ \left< x_{\alpha} : \alpha < \kappa \right> \big]}\) - zbiór wielomianów - jest pierścieniem mocy \(\displaystyle{ \kappa}\). Tego typu pierścienie odgrywają w teorii pierścieni podobną rolę, co grupy wolne w teorii grup, bo każdy pierścień przemienny z jedynką jest ilorazem \(\displaystyle{ \ZZ \big[ \left< x_{\alpha} : \alpha < \kappa \right> \big]}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \kappa}\) przez pewien ideał. Dlatego w kontekście postawionego pytania te przykłady wydają mi się najbardziej naturalne.