Witam, mam problem z 2 zadaniami.
Zad 1:
Podaj wszystkie nierozkładalne wielomiany stopnia 2 oraz 3 w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}[x]}\) oraz wszystkie nierozkładalne wielomiany stopnia 2 nad \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3}}\).
Nie jestem pewnien także jaka jest różnicca między wielomianem danego stopnia w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}[x]}\), a wielomianem nad \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}}\).
Zadanie 2:
Pokaż, że dla liczby pierwszej p istnieje wielomian nierozkładalny stopnia 2 w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{p}[x]}\)
Z góry dzięki za pomoc.
Wielomiany nierozkładalne
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Wielomiany nierozkładalne
Zadanie drugie było dzisiaj w tym dziale.
Zadanie pierwsze:
w \(\displaystyle{ \ZZ_2[x]}\) są cztery wielomiany stopnia \(\displaystyle{ 2}\):
\(\displaystyle{ x^2, x^2+1, x^2+x, x^2+x+1}\).
Jedynym nierozkładalnym jest \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) (czynniki stopnia \(\displaystyle{ 1}\) musiałyby być \(\displaystyle{ x}\) albo \(\displaystyle{ x+1}\) i łatwo sprawdzić podstawiając, że nie działa), bo
\(\displaystyle{ x^2=x\cdot x, \ x^2+1=(x+1)\cdot (x+1), \ x^2+x=x(x+1)}\).
W \(\displaystyle{ \ZZ_2[x]}\) jest osiem wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 3}\):
\(\displaystyle{ x^3+x^2+x+1, x^3+x^2+x, x^3+x^2, x^3, x^3+1, x^3+x, x^3+x^2+1, x^3+x+1}\)
Dla wszystkich poza \(\displaystyle{ x^3+x^2+1}\) i \(\displaystyle{ x^3+x+1}\) można podać oczywiste rozkłady.
A te dwa są nierozkładalne, bo musiałyby mieć rozkład w postaci iloczynu wielomianu stopnia \(\displaystyle{ 1}\) i wielomianu stopnia \(\displaystyle{ 2}\), ale żaden z tej dwójki nie jest podzielny ani przez \(\displaystyle{ x}\), ani przez \(\displaystyle{ x+1}\) (gdyż wielomiany te są postaci \(\displaystyle{ 1+\text{coś podzielnego przez x}}\), jak i postaci \(\displaystyle{ 1+\text{coś podzielnego przez }x+1}\)), a więcej wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 1}\) nie mamy w \(\displaystyle{ \ZZ_2[x]}\).
W \(\displaystyle{ \ZZ_3[x]}\) jest \(\displaystyle{ 2\cdot 3^2=18}\) wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 2}\) (współczynnik przy najwyższej potędze musi być jedynką bądź dwójką, bo nie może być zerem, a dalej cokolwiek). Trochę masakra, nie będę tego rozpisywać, bo za dużo i nudne, sam sobie zrób.
Aha,
Zadanie pierwsze:
w \(\displaystyle{ \ZZ_2[x]}\) są cztery wielomiany stopnia \(\displaystyle{ 2}\):
\(\displaystyle{ x^2, x^2+1, x^2+x, x^2+x+1}\).
Jedynym nierozkładalnym jest \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) (czynniki stopnia \(\displaystyle{ 1}\) musiałyby być \(\displaystyle{ x}\) albo \(\displaystyle{ x+1}\) i łatwo sprawdzić podstawiając, że nie działa), bo
\(\displaystyle{ x^2=x\cdot x, \ x^2+1=(x+1)\cdot (x+1), \ x^2+x=x(x+1)}\).
W \(\displaystyle{ \ZZ_2[x]}\) jest osiem wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 3}\):
\(\displaystyle{ x^3+x^2+x+1, x^3+x^2+x, x^3+x^2, x^3, x^3+1, x^3+x, x^3+x^2+1, x^3+x+1}\)
Dla wszystkich poza \(\displaystyle{ x^3+x^2+1}\) i \(\displaystyle{ x^3+x+1}\) można podać oczywiste rozkłady.
A te dwa są nierozkładalne, bo musiałyby mieć rozkład w postaci iloczynu wielomianu stopnia \(\displaystyle{ 1}\) i wielomianu stopnia \(\displaystyle{ 2}\), ale żaden z tej dwójki nie jest podzielny ani przez \(\displaystyle{ x}\), ani przez \(\displaystyle{ x+1}\) (gdyż wielomiany te są postaci \(\displaystyle{ 1+\text{coś podzielnego przez x}}\), jak i postaci \(\displaystyle{ 1+\text{coś podzielnego przez }x+1}\)), a więcej wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 1}\) nie mamy w \(\displaystyle{ \ZZ_2[x]}\).
W \(\displaystyle{ \ZZ_3[x]}\) jest \(\displaystyle{ 2\cdot 3^2=18}\) wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 2}\) (współczynnik przy najwyższej potędze musi być jedynką bądź dwójką, bo nie może być zerem, a dalej cokolwiek). Trochę masakra, nie będę tego rozpisywać, bo za dużo i nudne, sam sobie zrób.
Aha,
Żadna.Nie jestem pewnien także jaka jest różnicca między wielomianem danego stopnia w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}[x]}\), a wielomianem nad \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}}\)