Wielomiany nierozkładalne stopnia 2

[Ratroc]

Pokaż, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) istnieje wielomian nierozkładalny stopnia \(\displaystyle{ 2}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_{p}[x]}\).

Umiem to pokazać dla wielomianów unormowanych. Wtedy wszytkich takich wielomianów stopnia drugiego jest \(\displaystyle{ p^2}\), wielomianów rozkładalnych stopnia drugiego jest \(\displaystyle{ p+ {p \choose 2}}\) , czyli nierozkładalnych jest \(\displaystyle{ \frac{p^2-p}{2}}\). Czy to wystarczy żeby stwierdzić , że znajdziemy wielomian nierozkładalny biorąc pod uwage wszystkie wielomiany?

[Premislav]

Jeszcze powinno być chyba \(\displaystyle{ p>2}\), bo \(\displaystyle{ x^2+1=(x+1)^2}\) i \(\displaystyle{ x^2=x\cdot x}\). Jeśli uzasadnisz, że tak faktycznie jest, to owszem. Wszak wielomian unormowany jest wielomianem.

Moja pierwsza myśl była bardziej prymitywna: \(\displaystyle{ x^2-\text{dowolna niereszta kwadratowa modulo }p}\). Reszt kwadratowych modulo \(\displaystyle{ p}\) (\(\displaystyle{ p\in \PP,\ p>2}\)) jest \(\displaystyle{ \frac{p+1}{2}}\) (łącznie z zerem), co można elementarnie udowodnić, więc niereszt mamy \(\displaystyle{ p-\frac{p+1}{2}\ge 1}\), czyli zawsze będziemy w stanie wybrać nieresztę.-- 9 cze 2019, o 21:10 --Dobra, głupi jestem, w \(\displaystyle{ \ZZ_2[X]}\) po prostu nie działa moje powyższe podejście, ale np. \(\displaystyle{ X^2+X+1}\) jest elegancko nierozkładalny, bo czynniki stopnia \(\displaystyle{ 1}\) musiałyby być postaci \(\displaystyle{ X, X+1}\) albo \(\displaystyle{ X, X}\), ostatecznie \(\displaystyle{ X+1, X+1}\).
A ciekaw jestem, jak zliczyłeś te wielomiany nierozkładalne?

[karolex123]

Można też skorzystać z faktu istnienia ciała o \(\displaystyle{ p^2}\) elementach