Opisać grupę

[schnier]

Opisać grupę \(\displaystyle{ Aut(\ZZ_{15} ^{*})}\).

Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ Aut(\ZZ_{15} ^{*}) = \left\{id, \varphi\right\}}\), gdzie

\(\displaystyle{ \varphi\left( 1\right) = 1 \\
\varphi\left( 2\right) = 8 \\
\varphi\left( 4\right) = 4 \\
\varphi\left( 7\right) = 13 \\
\varphi\left( 8\right) = 2 \\
\varphi\left( 11\right) = 11\\
\varphi\left( 13\right) = 7 \\
\varphi\left( 14\right) = 14}\).

Czy tak jest?

Rozważmy multigraf skierowany ośmiowierzchołkowy \(\displaystyle{ G}\). Oznaczmy kolejne wierzchołki przez elementy \(\displaystyle{ \ZZ_{15}^{*}}\). Krawędź z \(\displaystyle{ a}\) do \(\displaystyle{ b}\) oznacza, że \(\displaystyle{ a ^{k} = b}\). Czy poprawne jest myślenie o problemie jak o liczbie grafów izomorficznych z \(\displaystyle{ G}\)?

-- 9 cze 2019, o 14:06 --

Oczywiście będzie więcej tych automorfizmów, nietrudno znaleźć inne przykłady. Pytanie więc brzmi, jak się zabrać za takie zadanie? Szukać zbioru generatorów \(\displaystyle{ \ZZ_{15}^{*}}\) i zadawać na nich wartości? Czy każde takie zadanie na generatorach będzie się dało przedłużyć do izomorfizmu? Jeśli to coś pomoże, to tutaj będzie chyba trzynaście par generujących \(\displaystyle{ \ZZ_{15}^{*}}\)-- 9 cze 2019, o 23:33 --Zagadka rozwikłana.