Izomorfizm grup

[schnier]

Czy żeby stwierdzić izomorfizm grup, wystarczy pokazać, że ciąg odpowiadający rzędom elementów jednej z tych grup i ciąg odpowiadający rzędom elementów drugiej z tych grup są permutacjami tego samego zbioru? Coś takiego przyszło mi do głowy w trakcie rozwiązywania prostych zadań o izomorfizmie grup, jednak nie potrafię tego uzasadnić. Proszę o elementarne wytłumaczenie.-- 8 cze 2019, o 10:15 --Nie widzę opcji edycji poprzedniego posta, dlatego piszę kolejnego.

Rozważałem izomorfizmy między grupą czwórkową Kleina a \(\displaystyle{ Z_2 \times Z_2}\) oraz między \(\displaystyle{ Z_6}\) a \(\displaystyle{ Z_3 \times Z_2}\). W pierwszym przypadku zadałem bijekcję dla każdego elementu, a w drugim skorzystałem z chińskiego twierdzenia o resztach i wskazałem bijekcję \(\displaystyle{ x \rightarrow (xmod3, xmod2)}\). Zastanawiam się, czy to, że rzędy w grupie czwórkowej Kleina to \(\displaystyle{ \left( 1, 2, 2, 2\right)}\) i że rzędy w \(\displaystyle{ Z_2 \times Z_2}\) to \(\displaystyle{ \left( 1, 2, 2, 2\right)}\) już zapewnia istnienie takiej bijekcji. Tak samo dla \(\displaystyle{ Z_6}\) i \(\displaystyle{ Z_3 \times Z_2}\). Czy w ogólnym przypadku to wystarcza?

[Gosda]

Nie, nie wystarcza. Rozważ multiplikatywną grupę Heisenberga macierzy \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) z jedynkami na przekątnej i zerami pod nią nad ciałem \(\displaystyle{ p}\)-elementowym oraz grupę \(\displaystyle{ (\mathbb Z/p) \oplus (\mathbb Z/p) \oplus (\mathbb Z/p)}\). Standardowe hokus-pokus pokazuje, że wszystkie nieneutralne elementy w tych grupach mają rząd \(\displaystyle{ p}\), ale jedna jest abelowa, a druga nie. Stąd brak izomorfizmu.