Liczba elementów rzędu n w grupie cyklicznej.

[dondomano]

Dzień dobry. Poniżej znajduje się zadanie z którym mam problem:
Mamy grupę cykliczną rzędu \(\displaystyle{ 60}\). Ile elementów rzędu \(\displaystyle{ n}\) znajduje się w tej grupie? \(\displaystyle{ n}\) wynosi :\(\displaystyle{ 8,6,4,5}\).

Oczywiście nie istnieje element rzędu \(\displaystyle{ 8}\), gdyż rząd tego elementu nie dzieli rzędu grupy. Mógłbym ten problem rozwiązać enumeracyjnie na konkretnym przykładzie (np \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{60}}\)). Tylko trochę się to mija z celem.

[kmarciniak1]

Ale przecież dowolne dwie grupy cykliczne o tym samym rzędzie są ze sobą izomorficzne, więc wystarczy właśnie popatrzeć na \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{60}}\)

[dondomano]

Bardziej mi chodziło o to, że pewnie istnieją pewne własności, dzięki którym mógłbym to sprytniej wyliczyć. Bo wyliczanie liczby tych elementów jest trochę męczące.

[Dasio11]

Dla \(\displaystyle{ a \in \ZZ_{60}}\)

\(\displaystyle{ 6 \odot a = 0 \iff 60 \mid 6 \cdot a \iff 10 \mid a \\
3 \odot a = 0 \iff 60 \mid 3 \cdot a \iff 20 \mid a \\
2 \odot a = 0 \iff 60 \mid 2 \cdot a \iff 30 \mid a}\)

i

\(\displaystyle{ \begin{align*}
\mathrm{rz} \, a = 6 & \iff 6 \odot a = 0 \wedge 3 \odot a \neq 0 \wedge 2 \odot a \neq 0 \\
& \iff a \in \{ 0, 10, 20, 30, 40, 50 \} \setminus ( \{ 0, 20, 40 \} \cup \{ 0, 30 \} )
\end{align*}}\)

[dondomano]

Aż mi wstyd, że tego tak nie rozpatrywałem. Super, dziękuję za pomoc!

[karolex123]

Ciekawostką jest fakt, że aby zliczyć ilość elementów danego rzędu w grupie cyklicznej, nie musimy ich znajdować. Zachodzi bowiem następujący fakt: w grupie cyklicznej rzędu \(\displaystyle{ n}\), dla każdego \(\displaystyle{ d}\) dzielącego \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ d \in \NN}\) istnieje dokładnie jedna podgrupa rzędu \(\displaystyle{ d}\). Co więcej, ta jedyna podgrupa musi być cykliczna.

Jak to można zaobserwować: istnienie podgrupy danego rzędu \(\displaystyle{ d|n}\) jest jasne; wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \frac{n}{d}}\)- tą potęgę generatora naszej grupy cyklicznej- wtedy otrzymamy generator podgrupy cyklicznej rzędu \(\displaystyle{ d}\). Jedyność też nie jest trudna- skoro każda podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna, to dla podgrupy danego rzędu \(\displaystyle{ d}\) mamy jej generator \(\displaystyle{ g^k}\), gdzie \(\displaystyle{ g}\)- generator wyjściowej grupy. Wtedy zaś \(\displaystyle{ \left\langle g^k\right\rangle=\left\langle g^{(n,k)}\right\rangle=\left\langle g^{ \frac{n}{d}} \right\rangle}\), gdzie \(\displaystyle{ (n,k)}\) oznacza największy wspólny dzielnik \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\).

Z tych rozważań wynika, że odpowiedzą na pytanie jest dla każdego \(\displaystyle{ n|60}\) funkcja Eulera: \(\displaystyle{ \phi(n).}\)