Pierścień z dzieleniem nie ma ideałów właściwych

[Akiva]

Udowodnić, że pierścień z dzieleniem nie ma ideałów właściwych.

Rozwiązanie:
Pierścień nazywamy ciałem, gdy jest przemiennym pierścieniem z dzieleniem.

Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie ciałem i niech \(\displaystyle{ L}\) będzie niezerowym ideałem w \(\displaystyle{ K}\). To znaczy, że \(\displaystyle{ L}\) posiada niezerowy element a. Ponieważ \(\displaystyle{ K}\) jest ciałem to, a posiada element odwrotny \(\displaystyle{ a^{-1}}\). Z warunku ideałów wynika, że \(\displaystyle{ 1=a^{-1}*a}\) należy do \(\displaystyle{ L}\). Jeśli \(\displaystyle{ b}\) jest dowolnym elementem ciała \(\displaystyle{ K}\), to \(\displaystyle{ b=b*1}\), będąc iloczynem elementu \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\), która należny do \(\displaystyle{ L}\).
Zatem \(\displaystyle{ K \subset L}\) i ponieważ \(\displaystyle{ L \subset K}\) to \(\displaystyle{ L=K}\).

Czy takie rozwiązanie jest w porządku?

[a4karo]

Udowodnić, że pierścień z dzieleniem nie ma ideałów właściwych.


Zatem \(\displaystyle{ K \subset L}\) i ponieważ \(\displaystyle{ L \subset K}\) to \(\displaystyle{ I=F}\).

???

[Akiva]

Mój błąd, poprawiłam już oznaczenie